[박재우T] 다르부 정리와 도함수의 연속성

안녕하세요 박재우 T입니다.

라스트 스퍼트 강의 시작했습니다.

저를 아는 학생들 모두 라스 선택하면 후회없을 거라 확신합니다.

열심히 달려봅시다.

이제 본론으로 들어가서

이전에 한 번 언급했던 적이 있었습니다.

도함수가 연속인지 아닌지 모르는데 도함수에서 사잇값 정리를 쓸 수 있느냐는 문제입니다.

결론부터 얘기하자면 쓸 수 있다 입니다.

물론 이와 같은 주제와 연관된 과거 기출문제는 수업시간에 다루면 안되겠죠 ?

당위성을 위해서 설명해야 하는 것이 대학과정 개념이라면 출제해서는 안됩니다.

그냥 쓸 수 있다라고 단정하고 지나가는 것도 물론 안되구요.

그래서 저는 강의에서 롤의 정리에 대해 많이 강조합니다.

암튼

도함수가 불연속일 수 있음에도 도함수에서 사잇값 정리를 쓸 수 있다는 것을 

가능하게 해주는 것이 바로 다르부 정리입니다.

한 번 알아보도록 하죠.

우선 함수 중에서 미분가능하지만 도함수는 불연속인 함수로 거론되는 

대표적인 함수가 

입니다. 이 함수는 x=0에서 미분가능하지만 도함수는 x=0에서 자명하게 불연속입니다.

이 함수의 경우처럼 도함수가 불연속인 함수는 사잇값 정리를 도함수에서 제약없이 막 쓸 수가 없겠죠

이제 다르부 (Darboux) 정리에 대해 알아봅시다.  

<Darboux 정리>

함수 f(x)가 폐구간 [a, b]에서 미분가능하고 구간 양 끝점인 a와 b에서의 미분계수가 다르면 

f'(a)와 f'(b) 사이의 임의의 값 k에 대해서 f'(c)=k 를 만족시키는 점 c가 개구간 (a, b)에서 존재한다.

아래 부분은 스킵해도 됩니다. 관심있는 분들만 보셔도 됩니다.

이제 증명 한 번 해보면

인 경우를 생각해봅시다.

폐구간 [a, b]에서 정의된 함수

라 정의하면 명백히 g는 폐구간 [a, b]에서 연속이면서 미분가능합니다.

그러므로 연속성의 정리에 따라 g는 [a, b] 위에서 최솟값 g(c)를 갖습니다.

즉, [a, b] 에서의 모든 x에 대하여 

를 만족시키는 c가 폐구간 [a, b]에서 존재합니다.

그런데. 

이 되므로 함수 g(x)는 x=a에서 감소상태에 있습니다. 그러므로

를 만족하는 점 d가 폐구간 [a, b]에서 존재합니다. 이제 마찬가지로

이 되므로 함수 g(x)는 x=b에서 증가상태에 있습니다. 그러므로

를 만족하는 점 e가 폐구간 [a, b]에서 존재합니다.

따라서, 점 c는 개구간 (a, b)에서의 원소이고 구간에서 g(c)는 최솟값이므로

구간 내에서 극대, 극소를 갖고 미분가능하면 자명하게 

즉, 

입니다. 같은 방법으로

도 증명해볼 수 있습니다.

이러한 이유로 정의한 구간 내에서 f의 도함수가 연속함수가 아닐 지라도 연속함수의 경우와 마찬가지로

f의 도함수에 대한 사잇값 정리가 성립함을 알 수 있습니다.

머가 먼지도 모르겠고 그냥 그렇다고 하니깐 쓰자라는 것 보다는

아예 애시당초 이런 문제는 안 내는 것이 상책이라 생각합니다.

그래서 롤의 정리가 수능에서는 더욱 더 깊이 있게 다가오는 것이 아닐 까 생각합니다.

물론 요즘은 잘 안나오는 주제이긴 하지만서두요.

아래 기출 문제를 한 번 봅시다.

다들 아시겠지만 여기 ㄷ지문은 롤의 정리가 더 좋지 않을까요 ?

두서없는 글 죄송합니다.