솔직히 동치변형 글도 읽어봤는데.. 초중고등학교 교과과정을 밟아오면서, 혹은 수능을 대비하기위해 미적2 확통 기벡을 공부하면서 학생으로서 그런 생각을 가질 수 있는지는 약간.. 분명 보편적이지는 않을텐데, 그리고 적분문제 같은 경우 주어진 조건들만을 적극 활용하여 문제에 거의 끌려가다싶이 답을 도출해내는 경우가 많은데 시험장에서 최선을 다해 답을 도출해냈음에도 단순히 운이 좋았다고 치부해버리는 것이 저는 기분이 좋지만은 않더라구요
한석원쌤은 a넣은거 자체를 뭐라하신게 아니라 항등식에 a를 넣어서 미정계수에 대한 방정식을 만든것을 비판하신거 같은데요,,, 그래서 빡T는 직접 함수식을 구해서 대입하셨으니 이건 항등식에 넣은게 아니라 한석원쌤 자신의 말에대한 모순은 없는거 같은데,,, 제가 잘못이해한건가요
최근에 기출특강이라는 강의를 한석원T가 올려주셨는데 거기에 설명듣다보면 스쳐가듯이 " 나 조건에 -a/2를 대입하면 ~~~ " 이런 설명을 해주십니다 이번 6평 해설강의에서 a대입하면 안된다고 하신건 한석원T께서 실수하신게 아닌가 싶어요 사람인데 실수할 수도 있고 그렇죠 뭐 ㅎㅎ
수치(정해진값)를 넣어서 그 "정해진값" 을 미지수로보는 방정식을 새로 만들어서 풀어도, 해를 구했을때 그 "수치"만 논리적으로 판별해내고 나머지 해당하지않은 해 들만 제거해낼수있다면 아무문제없는 풀이다.
이 글을 이렇게 간결하게 요약해주시다니, 감사합니다. 바로 그런 내용입니다.^^
방정식은 어떤 방법으로든 오류 없이 해집합을 정확하게 구했으면 무조건 올바른 풀이입니다. 예를 들어, x^99-2^99=0이라는 방정식을 보고, (인수분해라는 개념을 모른 채로) x=2를 대입하여 2가 방정식의 해임을 알게 된 후에 f(x)=x^99-2^99라 하여 x<2일 때 f(x)<0, x>2일 때 f(x)>0라는 사실만 알 수 있으면, 해집합은 {2}가 되는 것입니다. 실수의 범위에서 푸는 방정식이라면, 이런 식으로 풀어도 완벽한 풀이입니다.
이 문제에서 삼각함수를 모두 적당한 다항함수로 바꿔 놓으면 그것 역시 또 하나의 문과 수준의 문제가 될 수 있습니다. 이 글의 맨 아래에 있는 정병호/정병훈T 5회 모의고사를 제작하면서, 30번을 만들 때, 그런 유형을 하나 만들어봤거든요. 다만 이과용으로 제작하는 게 목표라서 사용하지는 않았지만요.
여태까지 기출 중에 잘못된 풀이는... 너무 많아서 뭐부터 말씀드려야 할 지 모르겠네요.^^
혹시 제질문에도시간이 되시면 답을 갠적으로 해줄 수 있는지요? 전 6평을 치고 시험현장에서 f (x)의 해의 꼴을 어떻게 구했을까하는 의문을 가졌었고 그 때 구하려는 꼴이 푸리에 급수꼴이여서 그것을 쓰면 [-a/2 a/2]에서 함수방정식의 해를 구할 수도 있겠다 생각만하고 일단 시험을 봤습니다 그리고 끝나고 푸리에합으로 표현하는것까진 성공했는데 그다음엔 어떻게 식을 조작해서 저해의 꼴을 나타냈는지 궁금한상태로 남겨뒀습니다(물론 저 문제속의 f도 여러 일반해중 한개의 꼴일테지만요. 그리고 저도 재수를 하는터라 그런거 고민을 잠깐하고 더 할 수도 시간도 없지만요ㅜㅜ 물론 수능끝나고는 갠적으로 해볼껍니다만...) 그래서 혹시 여력이 되시면 질문을 해결해주셔서 이멜로 보내주심 감사하겠습니다~ calvin0530@naver.com 입니다ㅠ 그리고 이 글 쓰시느라 수고많으셨습니다!!^.^
고교과정을 넘는 내용에 대해서는 저도 설명을 잘 할 자신이 없습니다. 다만, 푸리에 급수는 먼저 주어진 함수가 주기함수라는 성질을 갖고 있어야 그 이후에 논의가 가능하지 않을까 싶네요. 그런데, 이 문제에서는 f(x)가 주기함수라는 설명이 없는 상태에서 시작해야 합니다. 따라서 먼저 푸리에 급수를 적용한다는 것은 문제에 없는 주기성을 먼저 가정하고 시작하는 오류를 저지른 게 아닐까 합니다.
그런데, 이글에서 쓴 것처럼 실제로 f(x)+cosx가 주기가 5ㅠ/3인 주기함수임을 밝히고 나면, 굳이 푸리에 급수와 같은 내용이 필요할까하는 생각이 듭니다. 저희가 주기를 발견한 방법도 여기에 하나하나 설명할 수는 없지만, 고교과정에서 나름 일반적인 방법이거든요.
무슨 뜻인지 알겠습니다.^^ 그러니까, f(x)를 위에서 보인 것 같은 복잡한 식이 아니라, 주기가 5ㅠ/3인 보통의 삼각함수로 표현해보고 싶으신 거지요? 그래서 푸리에 급수를 생각하긴 하지만, 몇 항 넘어가서는 모두 계수가 0이 되길 바라는 마음. 그러나, 뜻대로 될 지 안될 지는 확신은 없는 상태.ㅋ 아닌가요?
저도 더 연구해봐야 알 것 같아서 바로 답을 드리지는 못하겠습니다.^^ 지금 처음 받은 연구주제이기 때문입니다. 30번 문제를 보고, 전혀 생각해 본 적도 없는 주제입니다. 무언가 성과가 나오는 대로 다시 말씀을 드리지요.^^
일단 코사인의 무한합에서 더 진행되지 않는 것은 확실합니다. cosnx의 계수를 구했을 때, 2m*((-1)^n)*sinmㅠ / (m^2-n^2)에 m=5/6, 25/6, 5/2를 각각 대입해서 얻은 n에 관한 식의 각각 1배, 5/2배, -9/4배를 더한 것이 됩니다. 처음의 기대와는 완전히 다르게 나오는 걸로 봐서는 실패임에 틀림없습니다.^^
저희도 이번에 정병호/정병훈T 5회 모의고사를 만들면서 30번 문제를 이 문제의 변형문제로 만드느라 고민을 많이 해봤는데, 고민하는 과정에서 푸리에 급수와 같은 것은 전혀 생각하지 않았습니다. 저희도 그러할 진데, 평가원 출제위원들께서도 아마 그런 고민 안하시고 만들었을 것 같습니다.^^
포카칩님의 글의 마지막에는 분명히 양변의 미분을 하지 않는다고 권하고 있습니다. 그 분의 최초의 의도가 '절대 하지 마라'까지는 아니었을 거라고, 답글들을 통하여 유추할 수는 있습니다만, 먼저 미분을 한 풀이를 '운'으로 취급한 부분에 있어서는 비판에서 자유로울 수 없습니다. Starbish님도 운 좋게 해가 하나밖에 안나오는 경우를 말씀하시고 계신데, 여기의 저희의 글을 따라가 보시면, 효율성의 단계에서 봤을 때, 포카칩님께서 제시하신 의 경우가 오히려 운이 좋게도 해가 1개가 나온 것임을 금방 알 수 있습니다. 즉, 포카칩님의 경고는 상황 분석부터 정교하지 못한 잘못된 경고입니다.
다만, 학생들이 이 문제를 풀 때, 늘 효율적인 길로 들어선다는 보장이 없고, 처럼 푼다고 해서 절대로 잘못된 풀이도 아니기 때문에, 그 풀이 역시 옳다고 인정해야 한다고 봅니다.
포카칩님의 경고가 동치변형이 아니면 추가로 나온 해가 답이 될 수 있는지를 점검해야 한다는 정도의 경고였으면, 비판의 대상도 아니겠지요. 그러나 분명히 포카칩님의 글은 그런 이유로 방법을 바꿔야 한다는 식, 그리고 특정 풀이가 더 옳다는 식의 경고였습니다. 그건 분명히 잘못된 것이고, 이런 착각을 하는 이유는 효율성에 대한 평가가 옳고 그름에 대한 평가로 둔갑해버리기 때문이라고 봅니다.
에 대한 해명을 듣고 싶네요. 제가 "미분을 한 풀이가 적정성 검증을 한 학생에게도 운으로 맞췄다"
정말 그렇게 해석되던가요? 글을 제대로 읽으신것 맞나요? "어차피 동치변형 고려 안하고 풀었으면 운으로 맞췄다" 라고 해석하는게 당연한것 아닌가요?
효율성 분석을 다 하셨다고요? 선생님께서도 6평 30번 처음 접하시고 양변 미분 하시기 전에, 저기 있는 모든 효율성 분석에 대한 고려를 전부 일시에 끝마친 뒤 "아.. 결국 미분하는게 가장 효율적이니 미분해야겠다." 하고 미분하셨으리라 굳게 믿겠습니다. 물론 잘하시는 선생님이시니 그럴수도 있다고 생각합니다. 저는 학생이 그정도의 실력을 갖췄다면, 문제에 연필한자 안갖다대고 답을 찍어도 그 학생은 논리적 하자 없이 답을 맞췄다고 믿겠습니다. 보여지는 풀이가 얼마나 수학적으로 타당하고 효율적인지를 믿는게 아니라, 저는 그 학생이 어떠한 사고로 문제를 풀었는지를 믿기 때문입니다.
그런데 이 문제의 꼴로 주어진 함수는 다행히도, 미분한 식과 원함수가 완전히 동치라는 것을 따로 증명하지 않은 경우이더라도 운이 좋게 답을 맞췄음을 알 수 있습니다. 즉, 미분해서 x=-a/2를 대입했는데 아주 기적적으로 a가 유일하게 하나만 있었고, 따라서 "운이 좋게" a값을 찾을 수 있게 되었습니다.
라고 쓰셨습니다. 이 부분이 적정성검증과 무슨 관련이 있는 거지요? 그냥 x=-a/2를 대입했는데, a가 유일하게 하나만 있었다면, 그 하나의 a에 대해서 적정성검증을 했든 안했든 운이 좋다고 표현하신 거 아닌가요? (그 글에 적정성 검증이라는 말은 전혀 없었습니다만...)
효율성 분석은 중요한 문제가 아닙니다. 어떤 사고로 문제를 풀었는지가 중요하지요. 그러나, 포카칩님의 글에 달린 덧글들 중에 효율성에 대한 관점으로 포카칩님의 글을 옹호하신 분이 있었기 때문에, 효율성을 분석하려면 정확하게 하라는 뜻으로 쓴 것입니다.
"그런데 이 문제의 꼴로 주어진 함수는 다행히도, 미분한 식과 원함수가 완전히 동치라는 것을 따로 증명하지 않은 경우이더라도 운이 좋게 답을 맞췄음을 알 수 있습니다. 즉, 미분해서 x=-a/2를 대입했는데 아주 기적적으로 a가 유일하게 하나만 있었고, 따라서 "운이 좋게" a값을 찾을 수 있게 되었습니다."
의 대 전제는 동치(a가 똑같이 나오느냐)가 아니라는 것을 몰랐을 때를 전제로 말하는 것이고, 그 부분에 대해 제가 글솜씨가 모자라지만 (이부분에는 정말 여러번 양해를 구하고 싶습니다) 알고 있었느냐를 여쭤봤던 것입니다 왜냐하면 뒤에 가급적 미분하지 않는다는 이야기도 덧붙였기 때문에 저는 애초에 절대 안된다는 이야기는 하지 않았으니까요
이 보다 낫고, 로 푼 사람은 운으로 맞은 거라고 하면, 그 표현을 "는 안된다."라고 받아들이지 않을 분들이 거의 없을 것 같습니다.
더군다나 잘 모르는 분들이 이렇게 주장하시면 모르지만, 수학에 대해서 어느 정도 전문가로 알려진 분들이 이렇게 주장하시면 잘 모르는 분들은 그렇게 받아들일 수밖에 없는 거 같습니다. 오죽하면 포카칩님의 글에 달린 답글 중에 한석원선생님 풀이와 같은 풀이인 줄로 착각한 답글들도 있었지 않습니까?
포카칩님의 좋은 의도는 알고 있지만, 포카칩님의 글이 다른 분들에게 미치는 영향이 좋지 못하다고 판단해서, 일단은 비판적으로 대할 수밖에 없었습니다. 여전히 처음에 글을 쓰신 의도를 나쁘게 생각하고 있지는 않습니다.
1단계 풀이 3번에서 조건 (나)의 식이 항등식이므로 미분한 식 또한 항등식인데 a값이 두개가 나온다면 두 a에 대해서 모두 항등식을 만족해야 하지 않나요?? 특정 a값에서 어떤 실수 x를 대입했더니 모순되더라, 그래서 그 a값은 폐기되고 나머지 a만이 답이다 하는것은 모든 실수 x에 대해서 주어진 조건식을 만족하는 a를 찾는 문제의 풀이이고 지금 문제에서 이미 모든 실수 x에 대해서 성립한다고 전제했기 때문에 a=pi일 때 어떤 실수 x에 대해서 식이 모순된다고 밝혀지는 순간 조건 (나)는 항등식이 아니고 따라서 문제가 잘못되었다고 생각합니다. 이런 오류를 극복하려면 출제할 때 a의 범위를 pi
조건 (나)가 모든 실수 x에 대해서 성립한다고 가정하고 양변 미분하고 x에 0,-a 대입한 상황이 아닌가요?? 그러면 a=pi or a=5/3pi 인데 a가 pi일 때 x=-1/2pi 이면 모든 실수 x에 대해 성립하지 않는 상황이라는게 문제가 있다는 생각입니다. 분명히 미분할 때는 모든 실수 x에 관해서 성립한다고 생각했기 때문입니다. 그리고 이 문제는 모든 실수 x에 대해서 조건 (가),(나)를 성립하도록 하는 a를 찾는 문제가 아니라 그냥 모든 실수 x에 대해 조건 (나)가 성립하고있는 상황입니다. 만약 모든 실수 x에 대해서 성립하는 a를 찾으라고 했으면 선생님 풀이가 맞는 것이고 두개의 a값중 하나를 탈락시켜야겠지만, 미세한 차이일지라도, 모든 실수 x와 어떤a에 대해 항등식인 식에서 a를 찾으라고 이해하고 접근하는 학생 입장에서는 풀이 도중에 a가 두개 나온 상황이 굉장히 찝찝하게 되네요. (정확히는 이렇게 되면 둘중 한가지의 a를 지운다기 보다는 계산에서 틀린 지점이 없나 검토를 반복하게 되죠)
(1) 운이 좋아서 맞췄다 운이 좋았다는 것은 당연히 아무 생각없이 미분한 학생들이 99%였기 때문이여서 그렇게 썼습니다. 결과적으로 어쨋튼 하나가 나왔으니까 운이 좋은게 아니라 맞은 것이다? 아니죠 그렇게 말씀하시면 곤란하죠. 글쎄요 논술에선 맞았다 하겠죠. 수학적으로도 틀린건 아니죠. 서술형에서 저라도 맞았다 할것 같습니다. 가슴에 손을 얹고 맞았다 할 수 있습니까? 얼마든지 다른 상황에서, 무조건 양변 미분해도 맞출 수 있다고 자신할 수 있습니까? 그건 학생들 마음에 달려 있고, 저는 조사 해보지 않았지만 100에 99 "아무 고려 없이 미분 했을 것이다" 라고 판단해서 그렇게 썼습니다. 선생님께서도 역시 양변 미분하실 때 동치변형이 아니라는 건 미리 알고 계셨다 하더라도, 그 문제를 푸는 처음 그장면에서 양변 미분할 때 "a가 늘어나면 어떡하지?"에 대한 고민을 했을지에 대해서.. 물론 그부분에서 고민하셨다면 대단하신 것이지만 대부분의 학생들은 안그랬을 거라고 판단합니다. 그러면 맞은 풀이를 구사하고 있더라도 저는 "운이 좋았다" 라고 표현합니다. 차라리 저의 궁예짓을 비난하셨으면 좋겠네요.
(2) 미분한게 결코 효율성 측면? 그래서 미분해서 만약 해 2개 나왔다면 적정성 검증은 어디에다가 하실건가요? 미분한 식에다가 대입해서 적정성 검증 하실거 아니잖아요? 어차피 적정성 검증도 식을 확인하지 않는 이상 다른걸 수치대입해서 소거해야 합니다. 그럼 어디다 대입하실껀가요? 결국, 결론적으로 원식에다가 대입하실거잖아요? 왜냐하면 미분해서 해가 추가된 것인지, 단순히 수치대입으로 인해 해가 늘어났는지도 잘 모르니까요.
물론 문제 구조상 평가원이 그정도로 치사한 집단은 아니니까 차치하더라도, 그러면 적정성 검증을 수치대입할때는 원식에다 할거면 어차피 처음부터 원식에다 대입합니다. 적정성 검증은 원식에다 수치대입으로 할 예정인데, 나는 미분해서 수치대입으로 하고 싶다. 좀 이상하지 않습니까? 뭣하러 미분해서 긁어부스럼을 만듭니까?
물론 제 생각에 미분해서 해구하는게 a=-5/3 pi를 도출하는것, 그 자체는 더 자연스러울 수 있지만 모든 상황을 고려해볼 때 저였다면 미분안하고 대입합니다. 왜냐하면 일반적인 이런 류의 문제에서는 미분하는것보다 그냥 넣는게 더 낫거든요. 문제를 풀기 전에 취할 수 있는 가장 합리적인 방법은 그거거든요.
물론 닭이 먼저냐 달걀이 먼저냐의 싸움이고 문제가 어떻게 출제되느냐 어떤 구조로 출제되느냐에 따라 효율적인 측면이 모두 달라지겠지만, 그 효율적인 측면은 일반적인 상황에서 무엇이 맞다 틀리다 단정짓기 어려운 것 아닙니까?
수치대입해서 적분식에 대입하는게 어차피 잘못됐다고요? 그래서 글에 다 써놨지 않습니까? 적분에 수치대입해도 문제가 있다. 수치대입은 애초에 필요충분조건은 아니기 때문이다. (특히 문자가 들어가는 수치대입은 더더욱 그럴 가능성을 높히죠) 그렇지만 보편적인 상황에서 적분식에 대입하는 것이 확률을 높힌다. 그건 (3)에서 이야기하겠습니다.
(3) 똥밭에 들어가면 어짜피 똥밭이다
똥밭에 두번 들어간거랑 똥밭에 한번 들어간거랑 비교하셔야 맞다고 생각합니다.
이번에 미분해서 -a/2가 더 유리할 수도 있었던 것은 수치대입을 더 정교하게 해서 그런 것이고 문제 구조상 그런 것임이 타당하다고 저는 그부분에 있어서 동의하는 부분 맞습니다.
그러나 일반적인 모든 이러한 상황을 고려해볼 때 미분하는 것은 상당히 위험하며 제가 만나본 아래끝 위끝이 모두 미지수가 주어진 문항에서 미분은 보편적으로 잘 사용하지 않는 방법입니다. (물론 그런 문제를 제가 즐겨 출제해서 제눈에 그렇게 보였을 수도 있습니다.) a부터 x까지는 양변미분을 먼저 하지만, x부터 x+a까지의 문항에서는 미분 잘 안합니다. 식자체에서 주기성을 최대한 뽑아내려고 먼저 시도하죠
따라서 어차피 똥밭에 들어갈거면 미분하는게 낫다가 아니고, 원래는 미분하면 더 위험해질 수도 있는 문제 구조가 가장 보편적임을 충분히 알리고, 그러나 이 문제는 결과적으로, 그리고 주기성 등 모든 문제 상황을 다 펼처놓고 봤을 때 결과적으로 a= -5/3pi가 유리했다 라고 말씀했어야 했습니다.
(1) 문제하나 맞추는 데에 가슴에 손까지 얹어야 하는 지는 잘 모르겠습니다. 자신이 구한 해집합에 대해서만 충분히 관찰하면 그만이지요. 저는 이문제 처음 풀 때 과 를 모두 해봤습니다. 그러나 대단하다고 생각하지 않습니다. 아직 잘 모르는 단계에서 아무거나 하다보면 그럴 수도 있는 거지. 그리고 를 선택했습니다. 삼각함수 문제 풀 때, 주기보고 판단하던 습관대로 했을 뿐입니다. a가 많이 나오는 게 싫으니까요.
도형문제에서 sin보다 cos이나 tan를 많이 쓰는 이유도 거기에 있습니다. 거의 모든 문제를 풀 때, 이런 습관을 갖는 게 좋은 거 아닌가요?
아무 생각없이 미분한 학생들도 항등식의 양변을 미분하면 항등식이 나온다는 것 정도는 알고 미분했을 것입니다. (이걸 동의하지 않으시면 뭐 할 수 없습니다.) 그것이 필요충분조건 관계인지 아닌지를 몰랐다고 하더라도. 그리고 필요충분조건 관계인지 아닌지를 몰랐다고 해도 이런 문제 아무리 내도 이번에 맞췄던 학생들은 계속 맞출 것입니다. 어차피 a가 여러개 나오면, 알아서 잘 결정할 것이고, a가 1개 나오면 그냥 답이겠지요. b, c를 구하는 과정이 적정성검증이 자동으로 되는 것이므로, 더 논할 가치가 없습니다.
(2) 미분해서 풀어서 a를 얻었다고 해서 미분한 식에만 대입한다는 기계적 발상을 학생들이 할 것 같습니까? 왜 거기에만 대입해야 하는 거죠? 그리고 적정성검증을 위해서 원식에 대입한다고 해서 처음부터 원식으로만 풀어야 한다는 논리는 도대체 뭐란 말입니까? 우리는 왜 그렇게 딱딱하게 사고해야 하나요? 문제에서 학생이 발견한 모든 조건에 대입해 보는 게 당연한 거 아닙니까?
(3) 무리방정식 문제에서 양변 제곱을 두번 한 문제와 양변제곱을 한번한 문제를 비교하시면 되겠습니다. 뭐가 다르던가요? 똥밭에 두번 들어가나, 한번 들어가나 어차피 똑같습니다. 무연근 여부는 처음식에 대입해서 보는 것입니다.
기본적으로 수치대입 때문에 위험해지는 것을 미분하면 위험해지는 것으로 착각하게 만들지 마시길 바랍니다.
x부터 x+a까지의 문항에서는 미분 잘 안합니다. 맞습니다. 그러나 미분을 잘 안하는 이유는 아무리 미분해도 같은 꼴의 식이 나오기 때문입니다. 별 의미없기 때문에 미분을 안하는 것 뿐, 미분을 한다고 해서 문제되지 않습니다. 혹시라도 원래 이런 유형은 식자체에서 주기성을 최대한 뽑아내는 유형이라고 말씀하시는 거라면, 저도 드릴 말씀이 있습니다. 원래 이런 유형은 어차피 주기성을 뽑아낼 것이기 때문에, 미분해도 주기성이 사라지지 않으므로 상관없습니다.
일단 먼저, (1)~(3)까지 모두 알겠는데, 수학적 팩트가 중요한게 아니라 그것을 개개인이 모두 알고 있었느냐가 중요하다는 말씀을 드리고 싶네요.
왜냐하면 (1)~(3)에서 양변미분해도 상관없는정도의 주장만으로 적분값에 대입해 푸는게 여러모로 더 낫다는 제 주장에 정확히 반박되는건 아닙니다. 선생님께서 양변을 미분하기 위해서 전제하신것이 너무나 많은데 그것을 모두 떠올리는게 문제를 읽고 가능한 상상이냐는 것입니다. 답 다 알고 풀이 다 알고 나서 더 분석되는 것들도 있는것 아니냐는 것이죠 없었다면 할말은 없는데 수험생도 그럴까에 대해 재차 묻고 싶구요
미분해서 a 하나 정해지면 되고 둘이면 쳐내면 된다 이건 저도 몇번 동의한 바입니다. 저는 그게 안되는 방법이라한적은 없습니다. 적분값에 붙은 미지수는 적분상태애서 해결하는게 보편적이라는 주장을 하고싶을 뿐입니다. 글에서 예시로 a부터 x까지 적분한것도 결국 원식에 x=a 대입하셔서 a 구하셨고 제가 본 대부분의 문제는 원식에서 해결하거든요 그래서 가급적 미분하지 않고 원식에 수치대입하는게 가장 낫다고 주장한 것이고요..
수학적 팩트가 우선적으로 중요하지, 개개인이 몰랐다는 이유로 변명이 될 수 없습니다. 수학적 팩트를 모르는 입장에서 수학적 팩트를 아는 입장을 비판할 수는 없는 거 아닙니까? 그런데 왜 수학적팩트를 모르는 입장을 전제로 아는 입장이 비판당해야 하는 건가요? 수학적 팩트를 모르고 시작할 학생들을 배려해달라는 뜻으로 보이는데, 정말로 그런 학생들을 배려하기 위해서라면 애초에 "어느 풀이가 더 나은가?"라고 말하는 게 아니라, "이 풀이도 좋고, 저 풀이도 좋다."라고 말해야 합니다. 과연 포카칩님께서 수학적팩트를 모르는 학생들을 배려하고 있는 것인지, 그리고 그런 배려가 필요한 게 맞는지부터 생각해 보셨으면 좋겠습니다. 적어도 이 글에 많은 분들이 공감하는 이유는 이런 점 때문이라는 것을 아셔야 할 것입니다.
처럼 적분값에 대입해 푸는게 여러모로 더 낫다는 주장은 문제의 상황에 따라 언제든지 뒤집어질 수 있는 논리일 뿐이니, 함부로 그렇게 주장해서는 안된다는 것입니다. 이제와서 포카칩님의 주장을 반박할 필요도 없다고 생각합니다. 학생들의 심리가 개입된 것으로 보고 판단한다면 당연히 학생들에게 물어보면 누구 설명이 더 좋은지 확인해서 알면 될 것이고, 학생들의 심리를 배제하고 이야기한다면 당연히 수학적으로 저희의 분석이 모든 면에서 정확합니다. 굳이 어느 경우인지 따질 필요는 없습니다.
정적분으로 정의된 함수를 보고, 미분을 해본다는 생각은 그렇게까지 많은 이론을 알아야 떠올릴 수 있는 것은 아닐 것입니다. 학생들은 거의 본능적으로 미분을 하지요. 아무 사전지식이 없던 학생들이 미분을 했다고 해서, 식이 틀린 것은 아닌데, 미분한 것이 초래할 결과를 100%는 모르고 있었으니, 너희는 운이 좋은 것이다? 미분했을 때의 의미를 100% 다 알고 푸는 사람이 어디있습니까? 다들 100%는 모르고, 그냥 해보는 거죠. 이렇게 학생들이 항등식을 보고 미분하여 항등식을 얻은 행동을 싸잡아서 잘못했다고 몰아붙인 게 문제지, 사전지식이 없는 학생들에게 "이것도 좋고, 저것도 좋다."고 말한 게 문제일까요?
확실히 끝까지 보장도 못하는 필요충분조건이라는 이름을 몇 분 더 지키기 위해, (사실 지킬 필요도 없는 고정관념에 불과한 것임에도...) 수많은 학생들의 풀이를 다 잘못된 것, 또는 틀리지는 않았으나 좋지 않은 것으로 몰아붙인 것을 지적한 것입니다.
도 옳은 풀이입니다만, 이 에 비해서 갖는 장점은 아무것도 없습니다. 그걸 좋다고 하시는 것은 몇 줄 더 미분하지 않았다는 자기위안일 뿐입니다. 그러나 저희는 그렇다고 해서 효율성을 따지는 범주가 아니라면, 가 보다 더 우월하다고 생각하지 않습니다. 이렇게 할 수도 있고, 저렇게 할 수도 있을 뿐입니다. 보편성은 더 우월한 면이 있어야 획득할 수 있을 것인데, 여기서 그렇게까지 평가할 수 있는 풀이는 전혀 없습니다. 그러므로 수학적인 '근거없이' 보편성이라는 말을 쓰지 않아야 합니다.
선생님께선 주로 적분식의 위끝 아래끝에 a가 있으면 a를 구하기 위해 미분하나요? 그렇지 않을것 같습니다. 위에서 선생님께서 드신 예시도 a를 구하기 위해 적분값에 대입하고 있으며 대부분의 문제에서 그렇게 푸는게 보통입니다. 왜냐하면 양변미분하면 오히려 동치변형이 아니니까 더 나빠지는 경우도 있고 a 구하려고 x에 관해 미분하는것도 이상하죠. 이 문제에서 더 나아져 보이는건 "미분해서"가 아니라 "수치대입한 값이 좋았기 때문"이죠.
그러면 이미 "a를 구하기 위해 양변 미분을 안하는 것이 보편적이다" 라는 주장은 성립하는 것 아닌가요? 보편적이니 가급적 그렇게 풀어라. 그게 잘못된 주장인가요?
미분해서 풀어서도 (적정성 검증이 전제되있지 않다면) 운이 따랐다. 왜냐하면 그런 부분에서 체크를 안한 학생들이 많았을 것이고 식을 그렇게 줬기 때문에 답이 잘 나온것이다. 이 말이 잘못되었나요?
물론 글의 어투상 풀이를 강제로 제한하려는 느낌이 있고 거기에서 오는 거부감이 강하다는건 동의합니다만..
그리고, 애초에 해의 개수를 결국 1개로 결정지어야만 한다면 그 정답은 원식의 수치대입의 어떤 값에 정답이 있는 것 아닌가요? 미분해서 3개, 원식에서 5개나왔는데 적정성검증하려면 미분해서 나온 3개중 2개를 제거해야하는데 그걸 체크하려면 원식에 대입해야 하고 그말은 원식에는 해가 반드시 1개가 나오는 가장 날카로운 수치대입 값이 있다는 증거 아닐까요? 근데도 미분하는게 최선인가요? 그럼에도 선생님의 분석이 적정성검증에서도 가장 최선이라고 확신할 수 있나요?
솔직히 저는 모든 사람을 이해시킬 자신은 없지만, (제가 진짜 뛰어났다면 단번에 이야기했겠지만 실력이 모자라니 새로운 의문이 뜨문뜨문 제기되네요)생각할수록 답답함이 해소되지를 않네요.. 이쯤되면 저도 많이 지겹고 더 논하고싶지 않긴 하지만 만나뵙고 싶기도 하네요 의견차가 좁혀진 부분도 있고 그렇지 못한부분도 있어 보여서요..
선생님께선 주로 적분식의 위끝 아래끝에 a가 있으면 a를 구하기 위해 미분하나요? 라는 질문에는 '주로'라는 말이 들어가서 질문 자체가 문제가 있습니다. 우리는 문제에 맞게 풀어야 하는 거지. 주로 푸는 방법으로 해결해야 하는 것이 아닙니다.
저는 문제를 보고 상황을 판단하는 거지. 기계적으로 정해놓고 풀지는 않습니다. 대부분 학생들이 다들 그렇지 않나요? 제가 그렇지 않을 거 같다고 마음대로 단정하시면 보편성이 획득되는 건가요? 처음의 전제에 동의할 수 없고, 상대의 심리를 꿰뚫는 척하면서 논쟁하는 것은 바람직하지 않다고 봅니다.
보편성은 포카칩님의 머리에서 획득되는 것이 아닙니다. 오히려 실제로 이 문제를 푼 사람들, 혹은 정답에 도달하지 못한 사람들이 어떤 진행을 더 많이 했는가를 조사해보면 쉽게 알 거라고 생각합니다. 뭐 별 의미없는 일이라서 안하는 것 뿐이지요.
게다가 더 문제가 되는 것은 설령 포카칩님의 주장이 '보편성'을 갖고 있다고 하더라도, 그것이 다른 사람의 다른 방식의 접근을 막을 근거가 되지 못한다는 것입니다. 수학을 언제부터 보편성까지 따져가면서 풀어야 했다니요... 포카칩님의 주장은남들과 다르게 풀면, 그것이 아무리 논리적인 오류가 없더라도 잘못되었다는 것으로 보입니다만...
미분해서 풀어서도 (적정성 검증이 전제되있지 않다면) 운이 따랐다를 받아들이라고 하려면, 미분하지 않고, 그냥 포카칩님처럼 푼 것도 똑같이 운이 따른 것임을 받아들이라는 것이 처음부터 제 주장입니다. 저는 이 주장을 하기 위해서 수리적으로 논리의 정합성, 일반성, 효율성의 세 가지 측면에서 설명하고 있는데, 포카칩님은 그냥 자기 풀이는 보편적이라는 주장을 되뇌고 있지 않습니까? 논쟁할 때 '보편성'이라는 말을 들이대는 것은 남들도 다 자기처럼 생각할거라는 착각에서 기인하는 것입니다. 그런 식으로 싸우려고 하면 저도 특정 풀이가 더 보편적이라고 우길 수도 있습니다. 그렇게 하면 더 이상 대화가 되지 않겠죠.
그러니 수리적인 근거로 자신의 풀이가 더 우월함을 입증하십시오. 필요충분조건 상태를 조금더 오래 유지했다는 점은 근거가 되지 않음을 제가 충분히 설명했다고 봅니다. 그러니 다른 근거를 제시해 보십시오. 저는 어느 풀이가 더 우월하다고 말하고 있지 않고, 다 괜찮다고 말하고 있으니, 우월함을 입증해야 하는 책임은 포카칩님에게 있습니다. 그냥 자신의 풀이가 더 보편적이라고 우기는 것은 '떼쓰기'에 지나지 않습니다.
Q. 그리고, 애초에 해의 개수를 결국 1개로 결정지어야만 한다면 그 정답은 원식의 수치대입의 어떤 값에 정답이 있는 것 아닌가요?
A. 정답은 원식의 수치대입의 결과에도 있지만, 그 어떤 형태의 다른 항등식의 수치대입의 결과에도 있습니다. 포카칩임의 뜻대로 되지 않는 이유를 글에서 충분히 밝혔기 때문에 더 대답하지 않겠습니다. 반례의 존재를 보고도 믿지 않는 것은, 무슨 이상한 고집인가요? 이걸 받아들이지 못하는 포카칩님의 관성은 연구에 방해만 됩니다. 하던대로 한다는 생각이 얼마나 문제인지 아십니까?
Q. 미분해서 3개, 원식에서 5개나왔는데 적정성검증하려면 미분해서 나온 3개중 2개를 제거해야하는데 그걸 체크하려면 원식에 대입해야 하고 그말은 원식에는 해가 반드시 1개가 나오는 가장 날카로운 수치대입 값이 있다는 증거 아닐까요?
A. 무리방정식에서도 양변 제곱을 2번 하는 문제들에서 무연근을 제거할 때, 처음 식에 대입해서 확인합니다. 그럼 그 때도 포카칩님은 양변 제곱을 2번하는 것을 잘못되었다고 하시겠네요. 재고할 가치도 없는 말입니다. 답은 당연히 원식에서 찾겠지요. 그것이 원식 이외의 식으로 풀어서는 안된다는 식의 억지 논리로 진행되어서는 안됩니다. 오히려 제가 묻고 싶은 것은 이것입니다. 미분하여 얻은 항등식에 수치대입해서 나온 여러 개의 a의 값의 적정성검증을 왜 미분하여 얻은 항등식에서만 해야 하죠? 그 단계가 되면, 눈에 보이는 등식이 여러개일텐데, 특정한 등식만 검증 대상이 되어야 하는 이유를 더 모르겠습니다. 당연히 검증만 할 수 있다면 아무 데서나 해도 되고, 어떻게든 처음식과 동치가 되도록 정리되면 그만입니다. 그리고 그것은 그냥 검증하는 것일 뿐이고, 특별히 어디에 검증해야 더 옳은 것도 아닙니다.
A가 B의 부분집합이고, B가 C의 부분집합임을 알았을 때, A집합을 구하는 문제에서 B집합을 거쳐서 C집합을 구했다면, 포카칩님은 C집합의 원소 중에 B집합의 원소를 추린 후에 다시 A집합의 원소를 정하라는 의미로 썼다고 볼 수 있습니다. 그런데, 왜 그렇게 해야 하죠? 바로 A집합의 원소인지 아닌지만 보면 되는 거 아닌가요?
그럼 먼저 채팅 후 관련내용을 내용을 공개하는걸 전제로 빠른 진행을 하고 싶은데요. 그건 동의하십니까? 서로 한마디 한마디 하루에 잘해봐야 5마디 저는 답답한데 말이죠 한댓글에 여러개의 사안을 한꺼번에 이야기하니 대화가 잘 되지 않는것 같아서이며 다른 이유는 없습니다. 이 글의 답글정도나 댓글로 최종결론, 필요하다면 과정을 공개하는걸로 하면 좋겠네요.
아니요. 이 문제를 너무 쉽게 생각하시는 것 같네요. 그렇게 다른 사람들을 차단한 채로 이야기할 이유가 없다고 생각합니다. 이 문제는 결코 간단하게 끝날 일이 아닙니다. 그러므로 저는 일요일에 다른 일들을 모두 제껴두고, 하루 종일 글을 써야 했습니다. 그렇게 해야 했던 이유는 포카칩님께서 먼저 쓰셨던 글이 있었기 때문입니다. 채팅으로 할 거였으면 처음부터 포카칩님께 채팅부터 걸려고 했을 것입니다.
그리고 이 문제에서 남은 쟁점은 단 하나입니다. "은 다른 풀이들에 비해서 우월한 방법인가?"입니다. 저는 조금도 우월하지 않다고 생각하는 입장이고, 그 근거로 부터 까지 틀린 풀이가 없고, 4가지 풀이 모두 수치대입의 과정에서 충분히 일어날 수 있는 일이므로 일반성이 있고, 효율성의 측면에서도 다른 풀이가 앞서면 앞서지, 뒤지지 않는다고 제시했습니다. 그런데, 포카칩님은 이 우월하다고 생각하는 입장입니다. 그 근거로 필요충분조건 관계를 조금 더 오래 끌고 갔다는 것을 제시하셨는데, 저는 그것이 막연한 감성적 분석에 불과하고, 어차피 적정성 검증을 해야 하는 것은 마찬가지라서 의미가 없다는 주장을 하고 있는 것입니다. 그러니, 포카칩님께서 이 다른 풀이보다 우월하다고 봐야함을 다른 방법으로 논증하시면 되는 것입니다. 아니면, 우월하다는 표현, 그리고 다른 풀이는 운이라는 표현을 거두시면 됩니다. 납득할만한 논증인지 아닌지는 저 혼자 판단할 일도 아니고, 많은 분들이 알아서 판단하시겠지요.
미분하는 과정이 동치변형이 아님을 몰랐다 -> 운으로 맞춤 적분한 상태로 수치대입하였는데, 여러개 나왔을 때 대처할 수 없다 -> 운으로 맞춤 미분하였고 수치대입하였고 ""그 과정이 모두 문제를 일으킬 수도 있음을 인지하지만"" 답이 하나만 나오거나 적정성 검증이 가능함 -> OK
글 내용에 미분한것 만이 운이 좋은것 마냥 쓴건 아니고, 두 가지 동치변형이 아닌 사례를 소개하는 과정에서 첫번째 부분은 오직 미분에 해당하는 내용이니, 미분해서 풀었으면 선생님이 말씀하셨던 적정성 검증이 없다면 운이 좋았던 것이다 를 강조하고 싶었습니다. 제가 두번째 사례를 소개하면서 적분해서 푸는 것 역시 수치대입의 적정성 검증을 몰랐다면 운이 좋았다는 것을 의미하기도 합니다.
이 부분에 대해서 선생님께서 납득하셨으면 이제 그럼에도 불구하고 가급적 적분된 형태로 풀어야 하는 이유를 다음번 이야기(효율성)를 하도록 하겠습니다.
제가 앞에서 언급한 보편성에 대해서입니다. 보편성은 선생님 말 그대로 상대적입니다. 우리가 수학문제를 접할 때는 대부분 처음 보는 경우를 전제로 합니다. 물론 분석을 위해 여러번 풀 수도 있지만, 전제는 처음 푼다는 것입니다.
문제를 처음 봤을 때 대부분의 수험생은 문제의 배경을 모두 이해하고 푸는 것은 아니므로, 과거에 내가 어떠한 풀이를 구사했는지 참고하는 것은 좋은 방법 중 하나입니다.
예를 들어 미로가 있다면, 미로의 답을 다 안다면 이 길로 가라고 명령할 수도 있지만 미로의 답을 모른다면 저는 다음과 같이 해결책을 제시할 수 있습니다. 가급적 한방향으로만 진행해라!
이것은 어떤 수학적인 언급은 아니며 정답이 있는 언급은 아닙니다. 저의 칼럼이고 제가 제시할 수 있는 문제풀이 기법중 하나입니다.
그리고 이런 그때그때 해결하기 어려울 때 과거의 풀이경험으로 보편성을 판단하는 과정은 문제를 빠르게 해결하기 위한 방법중 하나로 동의하는 분들이 많습니다.
대표적으로 폴리아와 같은 수학교육자가 있고 뭐 그건 너무 나갔다하더라도 수험생 분들도 많이들 동의하는 부분이라 생각하여 보편성을 언급하였습니다만, 선생님께서 동의하지 않더라도, 솔직히 절대다수의 수험생이 동의하지 않더라도 저는 이것을 강제할 생각은 없습니다. 다양한 생각을 존중하는 바입니다.
to35hour : 저는 이 부분을 동의하지 않는 것입니다. 매번 필요충분조건인지, 필요조건인지 알고 풀어야 하는 것이 아니라, 그런 것을 잘 모르더라도 적정성 검증만 하면, 결코 운이 아니라는 것입니다. 설령 필요충분조건으로만 풀었는데도, 잘 몰라서 적정성검증까지 했다고 해도 괜찮습니다. 이런 거 잘 모르면 무조건 적정성 검증을 하면 되는 것이지, 무조건 알고 풀어야 하는 게 아니라는 겁니다.
포카칩 : 적분한 상태로 수치대입하였는데, 여러개 나왔을 때 대처할 수 없다 -> 운으로 맞춤
to35hour : 이 경우는 따로 논할 필요 없을 것 같습니다. 운이야 아니냐를 여기서 논하지 않더라도 어차피 이런 상황에 빠진 학생들은 운을 기대하는 선택의 시간을 갖게 될 것이고, 그것이 운이었음을 본인들이 잘 알 것입니다.
(2) 포카칩 : x=pi/6와 x= -pi/6-a를 대입하여 같다고 하면 이것 역시 해가 나타나는 빈도가 2pi입니다.
to35hour : 그 방법은 극점이라는 특수한 상황을 이용해야만 빈도를 같게 만들 수 있을 뿐입니다. 이 문제에서는 미분한 식에 x=-a/2를 대입한 경우에 삼각방정식의 해가 극점에 걸리지 않아서 빈도가 2pi가 되는 것이지, 만약에 숫자가 바뀌어서 극점에 걸리면 빈도가 4pi가 될 수도 있다는 의미가 됩니다. 그러므로, 그 방법으로는 동일한 효율성이라고 말하기에는 무리가 있습니다. 다만, 그런 방법을 찾아내신 것은 대단하십니다.^^
포카칩 : 선생님께서 언급만 하고 직접 하지는 않으신 적정성 검증 과정
to35hour : f(x)를 직접 구하는 과정까지 진행해야, a=5ㅠ/3에 대한 적정성 검증을 완료한 것 아닌가요? 그래서 f(x)를 구했는데, 안했다고 하시면 대체 뭘 해야 하는 걸까요?
포카칩 : 적정성 검증을 위해서 원식에 대입을 해야 하는데, 적정성 검증을 위해서 원식에 대입을 하겠다는 것은 즉 원식에 대입하는게 더 괜찮게 수치대입 될 것이라는 것을 시인하는 것입니다.
to35hour : 적정성 검증 때 원식에 대입하는 것과 원식에 수치대입을 하는 과정은 아무 상관관계가 없습니다. "p이면 q이다."의 증명과 "q이면 p이다."의 증명이 상관이 없는 것과 같은 이치입니다. 적정성 검증 과정에 대한 판단이 왜 이전단계에 대한 판단에 영향을 미쳐야 하느냐는 질문을 드리고 싶습니다.
포카칩 : 처음부터 우리가 수치대입을 고집할거면 미분해야할 하등의 이유가 존재하지 않습니다.
to35hour : 미분을 해서 더 효율적이 된다면, 미분을 해야할 이유가 있는 것입니다. 그렇게 되는 예가 6평 30번 문제입니다.
(3) 포카칩 : 미로가 있다면, 미로의 답을 다 안다면 이 길로 가라고 명령할 수도 있지만 미로의 답을 모른다면 저는 다음과 같이 해결책을 제시할 수 있습니다. 가급적 한방향으로만 진행해라!
to35hour : 미로는 한 번 간 길을 되돌아 가기 위해서는 갈 때의 노력, 시간만큼을 다시 투자해야 하므로, 기회비용의 측면을 고려했을 때 한 방향으로만 진행하라는 말이 타당합니다. 그러나, 수학문제는 미로와 다릅니다. 한 번 간 길을 되돌아가는 것은 처음의 식을 보면 그만이기 때문에, 갈 때의 노력, 시간만큼을 다시 투자할 필요가 없습니다. 그러므로 수학 문제를 미로에 비유하는 것은 적절하지 않습니다.
제가 계속 말해왔건 것은 ""미분하는 과정이 동치변형이 아닐 수도 있다는 사실""을 문제풀 때 몰랐을 때, 즉 "당근 필요충분조건 아니야?" 라고 생각했다면 그게 운이라는 것입니다. 마치 수치대입이 "당근 필요충분조건이 아니야?"라고 생각한것과 같습니다. "당근 필요충분조건 아니야?" 와 "필요충분인지 일반적으론 아니지만 나중에 처리하면 되지"는 다른거지요 이제 이해하셨으리라 생각합니다. 중의적이였을 수 있다 봅니다.
(2)
미분해서 x=-a/2를 대입하였을 때 극점=0으로 식이 만들어지면서, 원식과 미분한 식 모두 주기성이 띄는 그런 상황을 제가 임의로 식을 잡아 구성해보았는데, 절대 우변의 주기가 2pi일때 a의 빈도수가 4pi가 나오는 상황은 만들어낼 수 없으며 (이경우 어떻게 만들더라도 원식이 주기성을 띄지 않아 항상 모순이더군요 전 증명도 하였습니다.) 원식에서 항상 최소 같거나 더 적은 근이 나오도록 수치대입 구성이 비슷한 문제상황에서 한두번의 수치대입으로 어렵지 않게 가능합니다.
한번 몇개 해보시기만 하셔도 제 말이 무슨 말인지 이해하실 것입니다.
극점에 걸리면 다른 몇개가 무연근같은 형태가 나오면서 원식은 최소한 같거나 더 좋게 수치대입되는 값이 반드시 존재합니다.
선생님의 주장은 미분한게 더 효율적인 상황이 존재한다는건데, 즉 가장 효율적인(빈도수 낮은) 수치대입값이 미분한 식에 존재한다는 것이죠 그럼 그문제의 적정성 검증은 미분에다가 해야 최적의 적정성검증이 가능합니다. 말이 된다고 생각하시나요..? 미분이 a랑 관련없는 과정인것 처럼 보이지만 집합의 크기를 키우는 과정 (혹은 동치)이기 때문이고 기존의 근을 그대로 보존한채 식의 형태에 따라 a가 더 늘어날수도있고 유지될수도 있습니다.
(3)에 대해서 선생님이 동의하지 않더라도 노 코멘트 합니다. 비유가 100% 맞지 않음은 인정합니다만 제 의중만 전달했으면 그만입니다.
(1) "당근 필요충분조건 아니야?" 라고 생각했다면 그것은 문제가 있겠지요. 하지만 그런 생각조차 안하고 아무생각없이 미분하여 수치대입한 학생들이 대부분이었을 겁니다. 시간도 쫓기고, 문제 의도도 잘 모르니까, 일단 아무거나 해보는 거지요. 그리고 막상 그런 생각을 할 필요도 없는 문제였지요. 그러니, 운이라고 취급할 이유가 없습니다.
(2) 증명을 했다는 것의 전제에 우함수라는 성질이 들어가 있는지는 궁금하군요. 그건 그렇고, 구간의 경계라는 특수한 점을 발견하고, 혹은 극점을 발견하고 나서야 빈도를 맞추는 방법과 구간 내에 아무데나 걸려도 빈도가 유지되는 방법을 같은 수준으로 생각하신다는 것은 납득이 되지 않습니다. 즉, 애초에 그런 특수한 점을 찾으려고 노력한다는 것, 노력해야만 한다는 것이 이미 불리한 방법임을 드러내고 있는 게 아닐까 합니다.
포카칩님 말씀대로 미분해야할 이유도 없고, 하지 말아야 할 이유도 없습니다. 그러나 미분하기 싫을 때, 효율을 맞추기 위해서 구간의 경계, 극점 등에 찾아야 한다는 것은 조금 문제가 있지 않을까 합니다. 그냥 효율성을 포기하면 되는 겁니다. 어차피 O(n)인 것은 마찬가지이기 때문에, 포기한다고 해서 대단한 손해도 아닌데요. 그러니 학생들은 그냥 아무 풀이나 하면 되는 것이고, 그 어떤 풀이라도 잘 풀어 놓은 것을 운이라고 폄하당할 이유가 없는 겁니다.
가장 효율적인(빈도수 낮은) 수치대입값이 미분한 식에 존재한다는 것이라고 했을 때, 적정성 검증은 미분에다가 해야한다는 주장은 대체 왜 계속 반복하고 있나요? 아무 근거도 없이 계속 이 주장을 끼워 넣는 이유는 무엇인가요? 저는 "p이면 q이다."를 유도해놓고, "q이면 p이다."로 적정성 검증을 하는 것이 처음의 유도과정과 무슨 상관이 있냐는 겁니다. 이 질문에는 답변이 없으셨으면, 그 주장을 계속 반복해서는 안됩니다.
예를 들어, 미분가능한 함수 f(x)가 단조증가한다는 조건을 보고, f'(x)가 0 이상이라는 조건을 얻었을 때, f'(x)가 0 이상이면 f(x)가 단조증가하는지를 확인해야 하죠. 그럴 때, f(x)가 단조증가한다는 조건을 보고, f'(x)가 0 이상이라는 조건을 얻을 때의 증명과정을 따라가면서 적정성 검증을 하던가요? 이건 아예 다른 진행이지 않습니까? 전자는 미분계수의 정의로 하고, 후자는 평균값의 정리로 하지요. 처음에 필요조건을 찾아가는 과정과 그 필요조건이 필요충분조건이 됨을 검증하는 과정은 아예 상관이 없는 겁니다. 아예 상관이 없길래, 교육과정에서도 필요충분조건임을 증명할 때는 "p이면 q이다."와 "q이면 p이다."를 모두 증명하라고 설명하지요. 이건 그냥 다른 두 명제를 증명하는 이야기입니다. 그러니 적정성 검증을 어떻게 하는 게 좋다는 이야기는 그냥 할 수는 있어도, 그것이 처음의 필요조건을 발견하는 과정에서 진행했던 연산만으로 정해져야 한다는 이야기는 틀린 이야기이고, 학생들에게 절대로 그렇게 설명해서는 안됩니다. 포카칩님의 의견대로 하면, 처음에 미분계수의 정의로 유도한 것은 그 역을 증명할 때에도 끝까지 미분계수의 정의로 생각해야 한다는 태도가 될 것 같아서 매우 우려스럽습니다.
(3) 그 의중이 틀렸다는 이야기를 한 것입니다. 수학적 접근법들은 보편성을 판단할 필요가 없습니다. '보편성'이라는 잣대는 다른 접근 방법들을 '보편적이지 않다'라고 규정하여 억압하는 용도로 쓰이기 때문입니다.
그리고 과거의 풀이방법을 참고하여 보편성을 찾는다고 가정하면, 수많은 학생들은 정적분으로 정의된 함수를 보면 미분부터 할 것 같습니다만... 다들 그렇게 미분해왔으니까요.
(1) 정신없이 미분한 모든 사람을 운이 나빴다고 탓하는게 아니라, 그들 중 어찌되었던 사전지식에 미분한 상황이 적분한 상황과 같다고 완전히 동일한 상황이라고 알고 있는지, 동치가 아니라고알고 있는지가 중요하다고 생각합니다. 그부분에 있어서 많은 학생들이 놓치고 있다고 판단하였습니다. 이 문제만을 떠나서 모든 비슷한 상황이 제시되었을 때 오류없이 풀 수 있어야 한다고 생각했기 때문입니다. 사전지식에 동치라 알고 있다면 틀릴 가능성을 내포하고 있는 것이기에 이번엔 맞췄더라도 다른 상황에선 틀릴 수 있다 있다 생각합니다. 즉 결과론적으로 이 문제에서 상관이 없었다 하더라도 평가원이 식을 이쁘게 줘서 맞출 수 있었던 건 사실이므로 운이라 주장하는 것입니다. 예를 들어 인테그랄 x^2 dx = 1/3 x^3라 주장하는 두 학생 A, B의 근거가, x^n제곱의 부정적분이 A학생은 1/n+1 x^n+1제곱이여서 그렇다고 생각하고 B는 1/3 x^n+1제곱이여서 그렇다고 가정해봅시다. B는 특수한 상황(n=2)에서만 맞는 이론을 알고 있어서 설령 인테그랄 x^2 dx를 정확히 풀었더라도 저는 사용한 이론이 일반적으로 성립하지 않으므로 우연히 풀었다고 생각하는 것이고 선생님은 그 문제에선 아무 문제가 없는 풀이이며 n=2에서는 맞는 이론이므로 우연이 아니라고 주장하고 있는 것입니다.
이건 토론해봤자 무한 평행선입니다. 저는 한 문제를 바라볼 때 항상 일반적인 공식을 가정하고 거기에 상황을 대입하여 생각합니다. 선생님은 문제를 그 문제 그자체가 전체라 생각하고 있으니 서로 평행선일수밖에 없습니다.
(2) 네 선생님께서 유리하다는 기준을 소요시간, 수치대입의 난이도 (빈도수가 아니라, 찾는데 애를 먹을 수 있다) 생각하시면 문제에 따라 효율성 다 달라질 수 있다 봅니다.
그냥 효율성을 포기하는게 차라리 더 효율적일 수 있겠다는 그 의견에 역시 동의하겠습니다.
다만 선생님이 효율성의 근거로 근의 빈도수를 들고 계셔서 제가 지루하게 증명을 좀 해봤을 뿐입니다.
(참고 증명의 개요 : 함수 f(x) (이문제에선 우함수 중 하나이겠죠)가 모든 x에 대하여 F(x+a)-F(x)=g(x)를 만족시키는 a가 a1, a2, a3, ... 라고 하면, f(x+a)-f(x)=g(x)는 x에 그 어떤 값을 수치대입을 하더하도 a1, a2, a3, ... 는 반드시 a로 해로 도출되며 거기에 b1, b2, ... 도 추가되어 존재할 수 있고 존재하지 않을 수 있습니다. 미분된식에 수치대입한 것이 가장 빈도수가 작다면 a1, a2, a3, ... 중에 적어도 하나이상 제거되었다는 것인데 앞의 가정에 모순됩니다. 또한, 모든 x에 대하여 F(x+a)-F(x)=g(x)를 만족시키는 a가 a1, a2, a3, ... 라고 하면, 어떤 x의 특정 수치대입값을 연립을 통해 구했다면 정확히 a가 a1, a2, a3, ...가 되게끔 하는 x의 수치대입값이 적어도 하나 존재해야 합니다. 따라서 원식의 가장 강한 수치대입값은 반드시 미분해서 대입한 최소 빈도수 값보다도 빈도수가 같거나 더 작습니다.)
그래서 선생님이 제시한 x=-a/2와 동일주기의 x값을 원식에서 쉽게 찾을 수 있었고 문제 상황이 바뀌어도 저는 같거나 더 좋은 수치대입값을 찾을 수 있다고(시간은 걸릴지 모르지만) 이야기드린 것입니다.
저는 어차피 풀이 뒤를 다 모르니, 빈도수가 적게 나올 것으로 기대되므로 원식에서 푸는것과 미분해서 푸는 것 둘다 생각이 났다면 그냥 원식에서 푸는게 더 효율적이겠다 판단한 것이고, 선생님께서는 미분해서 -a/2를 넣으면 근의 빈도수가 그래도 상당부분 적게 나올 것이라고 판단해서 넣었으리라 생각합니다. 역시 옳은 풀이입니다. 합리적입니다. 다만 미분하면 빈도수가 가장 적지 않다는것에 대해서는 수학적으로 증명했기 때문에 제 입장이 맞을 것입니다.
즉 선생님의 효율성 기준이 계산 줄수나 소요시간까지 모두 고려한 것이라면 더이상 선생님과 싸울 의향은 없을것 같습니다. 다만 처음에 주장하신 근의 빈도수 내용에 대해서만 반박한 것입니다. 사실 이 글의 내용 중 빈도수에 대한 내용이 나왔을 때 이걸 반박하려고 하다보니 댓글이 길어진 것이거든요
앞으로 글을 쓸 때 그런 부분은 조심하도록 하겠습니다. 가급적 ~~한다기보다는, 저는 ~~한 이유 때문에 이렇게 푸는 것이 더 낫다고 생각하지만 굳이 강요할 의향은 없다는 정도로 표현했다면 좀 더 좋았으리라 생각합니다.
(3) 아래끝 위끝에 문자 a가 들어가면 a를 구하기 위해 원식에 대입하기 때문에 그런 이야기를 한 것입니다 이 글의 a부터 x까지의 예시에서도 x=a를 원식에 대입하여 a를 구하고 있습니다. 그런 측면에서 다수의 경우 a를 구할 때 미분이 개입되지 않는다는 주장을 했던 것입니다. 선생님께선 풀이를 어느 정도 정해놓는 것이 다른 풀이를 억압하기 때문에 문제일 수 있다 하셨는데 그부분에선 동의를 합니다. 그치만 한편으로는 저는 일관된 풀이과정이 수능시험 고득점에 중요한 요소라 생각하기에 그렇게 썼습니다. 그것이 물론 다른 풀이를 억압하고 비하하는 단점이 있다 하더라도, 저는 그만큼 결과적인 장점이 있다고 판단하였습니다.
== 저는 여기까지만 댓글을 달고 더이상 달지 않겠습니다 이제 만날 접점들은 만나고 어떤 부분은 여전히 평행선일 수 있지만 제가 할 수 있는데까진 한 것 같습니다. 몇일동안 답변을 기다리는게 매순간 두렵고 지치고 힘이 들었습니다. 제 생각을 충분히 여러번 전했다 생각하며.. (사실 제가 이 댓글들 때문에 며칠간 마음에 걸려 잠도 제대로 자지 못해서.. 쉬고싶네요) 앞으로 이 글을 읽는 많은 분들이 스스로 판단하길 기대합니다. 선생님도 그동안 답글 다시느라 수고하셨습니다. 저는 항등식에서 조심할 점을 전달했다는것에 의의를 두겠습니다.
(1) 포카칩님께서 적절하지 않은 예를 계속 대려고 하니, 토론이 되지 않는 것입니다. 포카칩님께서는 x^2 dx = 1/3 x^3라 주장하는 두 학생 A, B의 근거가, x^n제곱의 부정적분이 A학생은 1/n+1 x^n+1제곱이여서 그렇다고 생각하고 B는 1/3 x^n+1제곱이여서 그렇다고 가정해 보자고 했는데, 그것은 어차피 A는 처음부터 옳게 알고 있고, B는처음부터 옳지 않게 알고 있다는 것을 전제한 것입니다. 이것으로부터 나오는 결론은 당연히도 A는 옳고, B는 틀렸다입니다. 결국 그 예를 놓고, 포카칩님은 A이고, 저의 주장은 B도 옳다고 한거라고요? 이건 뭐, 저의 주장은 처음부터 틀렸으므로 안된다는 거랑 같은 말씀을 하시고 계신 것입니다. 그렇게 생각하시는 거라면 그렇게 말씀하시면 그만이고, 그렇게 생각하지 않으신다면 제시한 예를 철회하시지요. 그냥 좋게 보면, 포카칩님께서 비유에 능하지 않다고 이해하고 싶습니다. 혹시라도 저 비유가 옳다고 생각한다면 결국 포카칩님은 똑똑해서 A라고 생각하고, 로 푼 사람들은 멍청해서 B라고 생각한 거라는 말씀으로 이해하겠습니다.
포카칩님께서 "저는 한 문제를 바라볼 때 항상 일반적인 공식을 가정하고 거기에 상황을 대입하여 생각합니다. 선생님은 문제를 그 문제 그자체가 전체라 생각하고 있으니 서로 평행선일수밖에 없습니다." 라고 말씀하신 부분을 보니, 포카칩님께서 왜 이렇게 간단한 문제를 못 받아들이시는 지 알겠습니다. 수학에 있어서만큼은 관용이 없어서 그렇습니다. 포카칩님께서 스스로 수학실력이 발전하지 않을 길로 가시겠다는 것은 포카칩님의 문제니까, 제가 막을 일은 아닙니다. 다만, 남들에게도 그렇게 발전적이지 않은 길을 고집하라고만 요구하지만 말아주세요. 포카칩님의 방법만이 언제나 옳은 것은 아닙니다. 바로 그런 독선적인 자세때문에 이번에 저에게 공격을 당하신 것입니다. 일반적인 공식을 먼저 가정하고 논의를 시작하면 그 전제에서 벗어난 생각을 하지 못해서 발전이 없는 거죠. 그리고 자신이 가정한 공식에만 집중해서 대화를 하게 됩니다.
그저 문제를 풀 때는 문제에 집중해야 하고, 새로운 정리를 발견할 때는 우연이든 필연이든, 필요충분조건이든 아니든, 하나하나 발견해야 하는 것 뿐입니다. 이 문제는 이제 더 이야기할 필요도 없을 것 같습니다. 서로 생각이 다름을 확인했으니까요.
(2) 증명이 틀렸습니다. "모든 x에 대하여 F(x+a)-F(x)=g(x)를 만족시키는 a가 a1, a2, a3, ... 라고 하면"으로 논의를 시작한 거 자체가 잘못입니다. 문제의 모든 조건을 만족하는 a의 값의 집합과 모든 x에 대하여 F(x+a)-F(x)=g(x)를 만족하는 a의 값의 집합이 다를 가능성을 처음부터 배제했기 때문에 증명의 시작부터 잘못되었습니다. 즉, 처음부터 원식은 완벽하다는 전제를 깔고 시작한 것이므로, 당연히 그 결론도 원식이 완벽하다고 나온 것에 불과합니다.
다시 시도해 보시라고 말하기에는 이게 의미가 있는 일인지 잘 모르겠어서, 격려의 말조차 하기 힘들겠습니다.
(3) 다른 사람들의 풀이에도 일관된 사고체계가 있습니다. 포카칩님과 다른 사고체계일 뿐입니다. 그들도 그들 나름대로의 사고체계를 정립한다면 수능 고득점을 받을 수 있습니다.
제가 대성학원에서 담임을 맡은 반 아이들의 노트를 검사해보니 (40명정도), 처음 시작을 로 한 학생과 로 한 학생의 빈도가 비슷했습니다. 물론 이 아이들만으로 경향을 판단하기에는 표본이 너무 적습니다만, 어느 풀이가 더 보편적이라고 정할 수 없다는 정도의 판단의 근거가 되지 않을까합니다.
수학을 다루는 일은 서로 감정을 상하고, 두렵고 힘든 일은 아니어야 합니다. 내용이 맞으면 잘한거고, 틀리면 고치면 그만입니다. (수험생들도 9평보고 문제 틀릴 때 울지 말아요. 고치고 개념을 잘 정리해서 수능 때 맞추면 그만입니다.) 물론 포카칩님께서 며칠간 힘드셨을 거라는 점은 이해합니다. 다만 포카칩님의 글을 보고, 포카칩님과 똑같이 힘들어했을 수험생들도 있었을 거라는 점을 알아주셨으면 합니다. 자기 풀이가 필요충분조건 여부를 생각 못했다는 이유로 부정당했으니까요. 특히 처음으로 30번 풀어서 맞춘 학생들일수록 더 그런 심정이었을 것입니다. 게다가 그 학생들은 포카칩님이나 한석원선생님만큼 수학실력이 있는 것도 아니니, 찝찝하지만 딱히 반박은 못하고 있었을 것입니다.
포카칩님께서 그렇게 힘들어지는 이유는 이 문제를 내용의 옳고 그름의 문제가 아니라, 우열의 문제로 접근했었기 때문이라고 봅니다. 저는 이 글을 쓰고, 여기에 답글을 다는 과정에서 포카칩님만큼 힘들지는 않았던 것 같습니다. (적어도 잠은 잘 잤거든요. 너무 잘자서 문제...) 처음부터 포카칩님보다 제 입장이 더 옳다고 생각했던 부분은서로 다른 풀이에 대하여 우열의 문제로 접근하려고 하지 않았던 것 뿐이었습니다. 더 관용적인 자세로, 학생들의 입장에 서려고 노력했을 뿐입니다.
포카칩님께서 더 댓글을 안 다시겠다고 하시니, 아마 이번이 마지막 댓글일 것 같습니다. 이번 논쟁은 결과적으로 우리들의 삶의 철학이 우리들의 수학적사고조차 집어삼킬 수 있음을 확인하는 시간이 되었다고 생각합니다. 저에게는 분명히 좋은 경험이었고, 학생들을 가르칠 때 좀 더 낮은 자세로 임해야 함을 깨닫게 만드는 시간이었습니다. 포카칩님에게도 좋은 경험이었기를 기원합니다. 이 글을 지켜보신 많은 분들에게도 좋은 경험이었기를 바랍니다.
지금은 교과과정에서 사라졌지만 무리방정식,분수방정식을 풀때 "무연근"이라는게 있었죠, 여기서도 식의 변형을 하면 원래의 근이 아닌 "추가적인 다른" 근이생기지만, 루트나 분모가 0이어선 안된다와 같은 조건에 의해 무연근을 제외해가죠,전 오히려 개인적으로 -a/2 등을 대입하는게 오히려 원래 출제자의 의도라고생각합니다
한석원 선생님이 x대신 x-a를 대입한것이 수치대입법이기 때문에 엄밀히말하면 동치변형이 아니라구요?
항등식에서 문자를 대입하면 그 자체에서는 항등식이기때문에 성립하는건 맞지만 그 문자로 방정식 풀어버리면 필요충분조건이 아니기 때문에 우리가 원하지 않는 무연근이 나올 수도 있다 양변을 미분한 항등식도 마찬가지.. 하지만 다른 조건으로 무연근만 걸러내면 된다. 올바른 풀이다 . 제가 이해한것이 맞나요?
근데 x대신 다른 a(상수)와 같은 문자를 넣어서 방정식 푼거면 이해 하겠는데 x대신 x-a 넣은거는 전체 함수를 a만큼 평행이동한 것으로서 동치변형이 된거 아닌가요? 그러니까 평행이동 시킨것도 동치변형이 아니에요?
뭐 항등식을 양변 미분시킨건 정말 식자체를 완전히 바꿔버린거니까 뭐 적분상수 문제도 있을거고 다 받아들일 수 있겠는데 원래 문제 만든사람이 항등식이라고 준 식은 평행이동 시킨건 동치변형같은데.. 아니면 동치변형이 맞는데 이제 거기서 a를 구하려고 방정식 푸는 순간 무연근이 섞이는건가?
음,,, 모든 실수에 대해 성립하는 f(x+a))=g(x)+b (=y 표현을 위해 임의로)라는 항등식이 있는데 여기에 x대신 x-a를 대입한게 y값은 변하겠지만 양변이 같은건 맞잖아요. 새로운 무연근이 섞이거나 할 일이 없을거같은데
문제에서 항등식을 봤을 때 결국 학생입장에서 어떻게 그 식을 건드려봐야 하는지... 정독을 안해서 그런가 .. 머리만 복잡..
함수의 평행이동도 항등식에 수치대입을 하여 진행하는 과정의 일부입니다. 조건 (나)는 모든 x에 대하여 성립한다고 했는데, x대신 x-a를 넣을 때 x의 범위가 구간 [a/2, 3a/2]에서만 성립합니다. 따라서 동치가 아닙니다.
x대신 x-a 넣어서 푼 후에 결국 x=a/2에서의 미분가능성을 따지는 것은, 처음에 결국 x=-a/2를 대입한 것과 같습니다. 즉, 결국은 x=-a/2를 대입한 것을 평행이동으로 설명한다고 해도 대입했다는 사실이 부정되지 않는 것입니다. 그래프를 조금 그려봤다는 이유로 다른 해석이 되는 게 아닙니다.
f(x+a))=g(x)+b (=y 표현을 위해 임의로)라는 항등식이 있는데 여기에 x대신 x-a를 대입한게 바로 수치대입법이라는 것입니다. 그렇다면 그 식 자체는 맞지만, x가 제한된 범위로 주어진 이상 처음 식과 필요충분조건은 아니라는 것입니다.
아 범위에 대한 생각을 해보니까 이해가 되려고 합니다,항등식의 정의도 살펴봤는데 엄밀히 말하면 범위도 주어져 있어야 한다네요 f(x)=g(x) 라는 항등식에서 f(x)-g(x)=F(x)치환하면 F(x)=0 이라는 상수함수가 나오는데 x에 무엇을 넣든지간에 수치대입에는 한계가 있기 때문에 아무리 값이 0이 나와도 그 함수가 상수함수라고 단정지을 수가 없다는 이야기네요? 그리고 제가 헷갈렸던 평행이동에 대한 부분도 x대신 x-a라는 값을 대입하면 범위에 따라서 원래 구하고 싶었던 근이 빠질수도 있고 무연근이 생겨날 수도 있는거네요 예를 들어 범위가 [a,2a]면 x-a 대입해서 평행이동 시켰을 때 [a,2a)부분은 사라지는 근들이고 (2a,3a]부분은 새로 생겨나는 무연근들이네요? 맞나요? 그럼 마지막으로 질문이 있는데 범위가 (-무한대,+무한대) 로 주어지면 평행이동한것은 동치변형인가요?
"수학은 자유다"칸토어... 를 내세우고싶네요 그......비유적으로 어떻게든 그 당시 수학적 센스를 발휘해 답을 내면 모두 옳은 풀이라 생각합니다. 그런면에서 저는 (이전에 포카칩님을 댓글에서 그냥 깐것 ㅈㅅ하지만 저는 to35hour님의 의견에 동의합니다 30번은 결국 어떻게 나올지 아무도 모르거든요. 우리가 가진 도구들과 경험들 지식들등을 가지고 그 문제 상황에 맞게 논리적으로 시간내에 답을 내는게 관건이기 때문입니다. 좀 돌아가게 풀어도 답을 내 맞추는게 중요합니다~ 고딩시절 올림피아드, 대수경문제등를 많이 해봤고 지금도 시간나면 그런점에서 전 자유를 존경합니다ㅎㅎ
드디어 긴 논쟁의 끝이 보이는 듯 하네요. 두 분 다 수고하셨습니다. 비록 학생이지만 수학 교육에 관심이 많은 저로서는 많은 것을 느끼게 해주셨던 것 같습니다. 댓글 하나하나 올라올 때마다 잘 보았습니다. 건강한 교육관은 물론이거니와 학생들을 위하시는 마음과 열정이 참 대단하신 것 같습니다. 비록 처음보다는 이 논점에 대한 관심이 매우많이.. 식은 것 같지만 관심있게 지켜보는 학생도 있었다는걸 알려드리고 싶어서요 ㅎㅎ 감사합니다!
to35hour선생님, 집요한 분이셨군요. 6평 이후에 잠시 댓글 논쟁에 참여했었는데 최근 오르비 안들어온 사이에 일이 이렇게 커진 줄 몰랐습니다. 이번 논쟁은 논리전개면에서 선생님의 완승인것 같습니다. 포카칩님이 처음에 하고 싶었던 얘기가 뭔지를 이해못하는건 아니지만, 다른 풀이를 '운이다'라고 평가절하한 것은 저도 처음부터 납득할 수 없었고, 결국 자신의 풀이가 더 우월하다는 것을 증명하지는 못한것 같네요. 어쨌든 수고하셨습니다. 가르치는 입장에서는 생각할 거리가 있긴 했는데, 학생들은 이거 다 읽느라 공부 못할까봐 걱정....ㅋ
저는 여기서 나온 논의들을 몰랐다면 운이 좋아서(상황이 좋아서) 맞췄다고 생각한다는 것에는 지금도 조금의 생각 변화가 없는데, 남을 설득하는 것을 포기했고, 뭐 이미 맞춘 학생들에게 운이라 말할 필요도 없을것 같고 저 또한 댓글로는 도저히 설득할 자신이 없어서.. (사실 벽대고 이야기하는 기분이라 ㅠ 제가 필력이 부족한 탓이겠죠) 더이상 댓글달기를 포기한 것일 뿐입니다 뭐 서로의 운의 기준이 다른 것이겠죠. 다른 쪽으로 더 도움줄수 있으면 그런 것으로 해보려고요. 저 역시 선생님께는 아무 감정은 없는데 댓글에서 다른 몇몇 분들의 비아냥 때문에 인신공격으로 느껴져 조금 마음이 상했고(상처도 많이 받고) 그부분은 아직도 마음이 걸리긴 합니다만 그냥 제가 저지른 부분도 있으니 제가 가만히 있는게 가장 도움되는것 같습니다.
솔직히 동치변형 글도 읽어봤는데.. 초중고등학교 교과과정을 밟아오면서, 혹은 수능을 대비하기위해 미적2 확통 기벡을 공부하면서 학생으로서 그런 생각을 가질 수 있는지는 약간.. 분명 보편적이지는 않을텐데, 그리고 적분문제 같은 경우 주어진 조건들만을 적극 활용하여 문제에 거의 끌려가다싶이 답을 도출해내는 경우가 많은데 시험장에서 최선을 다해 답을 도출해냈음에도 단순히 운이 좋았다고 치부해버리는 것이 저는 기분이 좋지만은 않더라구요
이 글이 조금의 위로가 될 수 있다면 다행일 것입니다. 동치변형을 매우 강조하시던 분들 치고, f(x)가 무엇인지 직접 구해서 설명하신 분이 아무도 없다는 것이 가장 큰 함정입니다.^^
좋은 글 감사합니다 ^^ 저녁먹으면서 또 읽어보겠습니다 ㅎㅎ
좋은글입니다. 수험생분들은 부디 인쇄하여 두번 세번 읽어보기를 권장합니다.
칭찬 감사합니다. 인쇄하기 편하시라고, A4로 편집된 pdf파일을 첨부했습니다.^^
솔직히 한석원쌤 풀이 너무 현학적인거같아요 ;;
뭐 평행이동의 아이디어는 참신하다고 생각은 했지만, a는 안된다하시면서 x-a를 대입하시는걸 보고 좀 의아하긴 했습니다 ㅠㅠ..
그게 새로운 건 아닙니다. 위에 썼듯이, EBS 수능특강의 해설지에도 평행이동을 해서 풀어놓았다는 거죠.^^ 같은 아이디어입니다.
한석원쌤은 a넣은거 자체를 뭐라하신게 아니라 항등식에 a를 넣어서 미정계수에 대한 방정식을 만든것을 비판하신거 같은데요,,, 그래서 빡T는 직접 함수식을 구해서 대입하셨으니 이건 항등식에 넣은게 아니라 한석원쌤 자신의 말에대한 모순은 없는거 같은데,,, 제가 잘못이해한건가요
네 잘못 이해하신 것입니다.
a넣은거 자체와 a를 넣어서 미정계수에 대한 방정식을 만드는 행동은 다른 표현이 아닙니다. 그리고 x에 x-a를 대입하지 않고서는 직접 함수식을 구할 수 없습니다. 한석원 쌤도 직접 함수식을 구하는 과정에서 x에 x-a를 대입하셨습니다.
이 부분에 대한 설명은 이 글에 이미 충분히 나와 있습니다. 그리고 한석원쌤 강의 영상 찾아보시면 대입하는 과정 분명히 나옵니다. 항등식에 넣지 않고서 구간 [a/2, 3a/2]의 함수를 대체 어떻게 구한단 말입니까?^^
그러니까 제말은 말이죠,, 한석원쌤이 대입을 안하셨다는게 아니라 저도 함수식 구할때 x-a 대입하는건 봤는데여
주어진 함수식 f(x)에 x-a넣어서 다음구간 함수식을 구하셨잖아요 그래서 그다음에 항등식이 아닌 함수식에 수치를 대입시켜서 풀이하신거니까
이풀이는 항등식을 방정식으로 바꾸어서 푼 풀이는 아니잖아요 그래서 자신의 말이랑 모순은 없다는거 같다는거였어요 ㅠㅠ 그냥 수알못이라 질문드리는거임,,,
주어진 항등식에 x에 x-a를 대입하는 행동 자체가 수치대입법이라는 의미입니다.^^
그리고 어떤 방법으로든 a를 구하는 행동을 했다면, a에 관한 방정식을 푼 것과 같습니다. 그리고 함수식으로 주어진 녀석들도 사실은 특정구간에서 성립하는 항등식의 일종입니다. 그러므로 거기에 수치를 대입하는 행동도 또 다시 수치대입법입니다.
한석원 쌤의 이 방법은 물론 틀린 방법이 아닙니다. 다만, 한석원쌤의 강의의 말미에 비판이라고 하셨던 내용대로 한다면, 이 방법도 비판을 받게 된다는 것입니다. 스스로 자신의 풀이를 부정하셨다는 의미입니다.
아,, 함수식도 항등식의 일종인건 몰랐습니다,, 죄송합니다
뭐 죄송할 일은 아닙니다.^^ 여기서 뭔가 알아가시는 게 있다면, 제가 더 감사합니다.^^
최근에 기출특강이라는 강의를 한석원T가 올려주셨는데 거기에 설명듣다보면 스쳐가듯이 " 나 조건에 -a/2를 대입하면 ~~~ " 이런 설명을 해주십니다 이번 6평 해설강의에서 a대입하면 안된다고 하신건 한석원T께서 실수하신게 아닌가 싶어요 사람인데 실수할 수도 있고 그렇죠 뭐 ㅎㅎ
네 그분이야 물론 실수할 수도 있지요.^^ 사람인데요. 저희도 실수할 때가 많습니다.^^
다만 놀라웠던 것은 이번 문제는 저것이 실수라고 지적해주는 사람들은 없고, 그 실수가 오히려 진리처럼 받아들여지고 있었다는 것입니다.
감탄이 나오네요 이번 문제를 완전히 종결시키는.. 좋은 칼럼 감사합니다 한석원 선생님이 이 글을 보면 재밌겠군요
칭찬해 주셔서 감사합니다. 이제는 종결시키기 위해서 오늘 하루 종일 이 문서 만드는 작업했습니다. 학생들이 자신의 풀이에 대해서 자신감을 회복하는 기회가 되었으면 합니다.^^
쉽게풀어보면, 수치(정해진값)를 넣어서 그 "정해진값" 을 미지수로보는 방정식을 새로 만들어서 풀어도, 해를 구했을때 그 "수치"만 논리적으로 판별해내고 나머지 해당하지않은 해 들만 제거해낼수있다면 아무문제없는 풀이다. 이말씀이신거죠?
그런데 교과과정상 방정식은 우리가 모르는 수치를 찾아내는 과정으로 보통 이해하고 풀어내니까 문제제기를 하신게아닐까싶은데....
정해진수치를 미지수로 보고 다른걸 제거해내는 과정이랑 미지수를 풀어내는 방정식이랑
전혀 차이가 없다 라고 받아들여도 되는걸까요!?
정해진수치를 알고 방정식을 만들어가는거랑 해가 있을지,무한개가존재할지,없을지 모르고 들어가는거랑 같은과정으로 치부해도되는지 궁금합니다ㅜㅜ
정말 좋은글 감사드립니다!!!!!!!!^^
수치(정해진값)를 넣어서 그 "정해진값" 을 미지수로보는 방정식을 새로 만들어서 풀어도, 해를 구했을때 그 "수치"만 논리적으로 판별해내고 나머지 해당하지않은 해 들만 제거해낼수있다면 아무문제없는 풀이다.
이 글을 이렇게 간결하게 요약해주시다니, 감사합니다. 바로 그런 내용입니다.^^
방정식은 어떤 방법으로든 오류 없이 해집합을 정확하게 구했으면 무조건 올바른 풀이입니다. 예를 들어, x^99-2^99=0이라는 방정식을 보고, (인수분해라는 개념을 모른 채로) x=2를 대입하여 2가 방정식의 해임을 알게 된 후에 f(x)=x^99-2^99라 하여 x<2일 때 f(x)<0, x>2일 때 f(x)>0라는 사실만 알 수 있으면, 해집합은 {2}가 되는 것입니다. 실수의 범위에서 푸는 방정식이라면, 이런 식으로 풀어도 완벽한 풀이입니다.
그렇군요ㅋㅋ오개념이 생길수도 있었는데 고쳐주셔서 정말감사합니다!!
깔-끔... 왜 수치대입은 가능하지 않은가 라고 그들에게 반문하고 싶었으나 아무것도 모르는 수험생 나부랭이라... 깔끔한 해설 감사합니다!
좋게 봐주셔서 감사합니다. 아무것도 모를 거라고 생각하지는 않지만, 혹시 정말로 아무것도 모른다면, 더욱 반문해 보는 게 좋을 것 같습니다.^^ 수학은 토론을 하다보면 더 빨리 늘거든요.
지나가던 문과생: (더 빨리 지나간다)
잠깐!! 지나가지 마세요.
조만간에 다항함수 버젼으로도 이 유형을 하나 만들어 드리겠습니다.
삼각함수만 아니었다면, 문과 문제로도 가능하거든요.^^
선생님 안녕하세요^^
반갑습니다.^^
알람용으로 댓글달게요!
이런식으로 "접근관점"에 대한 글 너무나 좋아요~ㅎㅎㅎ
감사합니다.^^
깔끔하네요.좋은 글 감사합니다.
작년 9평 15번 같이 논란이 많이 되는 문제가 나오니 학생 입장에서 배워갈게 꽤 많군요..ㄷㄷ
이번 9평도 기대해보겠습니다. 평가원과 to35hour님을요.
작년에는 저희가 오르비에 없어서 여기서는 어떻게 논란이 되었는지는 모르겠습니다만, 혹시 필요하시다면, 여기 3개의 동영상 강의를 보시면 좋을 것 같습니다.
저희가 찍은 작년 9평 15번, 29번, 30번 해설강의입니다.
15번 https://youtu.be/HtSjh95NnWc
29번 https://youtu.be/2e2psjud-Fc
30번 https://youtu.be/nBUKu67bUWU
명쾌하네요
감사합니다.^^
좋은 글 읽고 갑니다~~
감사합니다.^^
동치변형에 대한 글이랑 이 용어에 대해 모르는 이과생인데요...
이 칼럼 읽어도 될까요..?
'동치'라는 말은 '필요충분조건'을 의미합니다.
동치변형은 어떤 등식을 변형할 때, 처음식과 필요충분조건인 관계를 유지하면서 변형하는 것을 말합니다. 예를 들어 a=b의 양변에 1을 더하는 것은 동치변형이고, 양변을 제곱하는 것은 동치변형이 아닙니다.
여기서 글이라고 하면 포카칩님의 글일 거 같은데,
http://orbi.kr/0008527886
로 들어가시면 확인하실 수 있습니다. 한석원 선생님의 강의는 오르비에 제휴사공지로 떠 있는 것을 보시면 될 것 같습니다.
뭐 그런데 그런 거 잘 몰라도, 읽는 데에는 크게 무리는 없을 겁니다.^^
아 얼마전에 학원 선생님이 (포스텍 수학박사이심) 한석원샘 조교인지 선생님인지 풀이하신거중에 이부분은 아니라고 미분 어쩌구 저쩌구하던데 걍 저번에 풀이해줘서 쌩깠는데 이내용인가보네요
그 학원 선생님께서 무슨 말씀을 하신 것인지는 확인할 수 없으므로, 잘 모르겠습니다.^^
와 진짜 종결 ㅋㅋ 최고네요
감사합니다.^^
정병호,정병훈 선생님의 열정을 응원합니다!
응원해 주셔서 감사합니다.^^
저 수학은 잘 못해서 100프로 이해하기는 힘들지만
'x에다가 -a/2이든 -a이든 (나)식에 대입해서 구한 a값이
a의 범위조건을 만족하기때문에 틀렸다고 할수없다'
이런식으로 이해하는게 맞을까요?
그 a의 값이 5ㅠ/3이 나왔다면, 옳은 풀이일 거라는 뜻입니다.
다만, 5ㅠ/3을 비롯하여 a의 값이 여러 개가 나왔다면, 어느 값이 옳은 지는 다른 조건에서 따져 봐야 하는 거고요.^^
좋은글 감사합니다. ~!
읽어주셔서 감사합니다.^^
문과라 그런지 함수식부터 너무 괴리감있게 다가옵니다..
혹시 문과가 얻어갈게 있을까요?
여태까지 기출중에 잘못된 풀이라든가?
이 문제에서 삼각함수를 모두 적당한 다항함수로 바꿔 놓으면 그것 역시 또 하나의 문과 수준의 문제가 될 수 있습니다. 이 글의 맨 아래에 있는 정병호/정병훈T 5회 모의고사를 제작하면서, 30번을 만들 때, 그런 유형을 하나 만들어봤거든요. 다만 이과용으로 제작하는 게 목표라서 사용하지는 않았지만요.
여태까지 기출 중에 잘못된 풀이는... 너무 많아서 뭐부터 말씀드려야 할 지 모르겠네요.^^
캬~~ㅋㅋ이겁니다 그전에도 무슨 포카칩님이나 한석원샘이 저래풀면 안되고 이것만 된다할때 속으로 개소리하고하고있네하고 생각했는데 오늘 이 글을 보며 바로 내가 원하는 소리다하고 책상을 탁칩니다!!!ㅋㅋㅋ
정작 안되는 풀이를 비판해야 할 문제는 가형 29번인데, 엉뚱한 문제에서 비판이 일어나서 사실은 좀 당황스러웠습니다.^^
죄송하지만 29번 안되는풀이가 무엇인지 알려주실수있나요???
f'(t)=1-1/t^2을 구하는 과정에서 귀류법과 사이값 정리를 안 쓰고 설명하는 경우입니다.
애초에 저걸 구하지 않아도 되는 문제인데, 굳이 저걸 구해야겠다고 생각한다면, f'(2)=3/4이라는 사실만으로 f'(t)=1-1/t^2를 바로 결정할 수 없다는 것입니다.
이런 점을 비판하기 위해서 이 글의 맨 마지막에 있는 정병호/정병훈T 5회 모의고사 29번을 제작했습니다.
to35hour/29번ㅋㅋㅋ그렇죠??ㅋㅋ
혹시 제질문에도시간이 되시면 답을 갠적으로 해줄 수 있는지요?
전 6평을 치고 시험현장에서 f (x)의 해의 꼴을 어떻게 구했을까하는 의문을 가졌었고 그 때 구하려는 꼴이 푸리에 급수꼴이여서 그것을 쓰면 [-a/2 a/2]에서 함수방정식의 해를 구할 수도 있겠다 생각만하고 일단 시험을 봤습니다
그리고 끝나고 푸리에합으로 표현하는것까진
성공했는데 그다음엔 어떻게 식을 조작해서 저해의 꼴을 나타냈는지 궁금한상태로 남겨뒀습니다(물론 저 문제속의 f도 여러 일반해중 한개의 꼴일테지만요. 그리고 저도 재수를 하는터라 그런거 고민을 잠깐하고 더 할 수도 시간도 없지만요ㅜㅜ 물론 수능끝나고는 갠적으로 해볼껍니다만...) 그래서 혹시 여력이 되시면 질문을 해결해주셔서 이멜로 보내주심 감사하겠습니다~
calvin0530@naver.com 입니다ㅠ
그리고 이 글 쓰시느라 수고많으셨습니다!!^.^
고교과정을 넘는 내용에 대해서는 저도 설명을 잘 할 자신이 없습니다.
다만, 푸리에 급수는 먼저 주어진 함수가 주기함수라는 성질을 갖고 있어야 그 이후에 논의가 가능하지 않을까 싶네요. 그런데, 이 문제에서는 f(x)가 주기함수라는 설명이 없는 상태에서 시작해야 합니다. 따라서 먼저 푸리에 급수를 적용한다는 것은 문제에 없는 주기성을 먼저 가정하고 시작하는 오류를 저지른 게 아닐까 합니다.
그런데, 이글에서 쓴 것처럼 실제로 f(x)+cosx가 주기가 5ㅠ/3인 주기함수임을 밝히고 나면, 굳이 푸리에 급수와 같은 내용이 필요할까하는 생각이 듭니다. 저희가 주기를 발견한 방법도 여기에 하나하나 설명할 수는 없지만, 고교과정에서 나름 일반적인 방법이거든요.
그 저도 주기성을 사실 to35hour님께서 하신대로 f (x)+cosx의 주기가 5ㅠ/3임을 보이고 그담에 푸리에를 썼는데 물론 고교외 내용은 필요가 없긴합니다만 그냥 단순 호기심때문입니다. ㅜㅜ
무슨 뜻인지 알겠습니다.^^ 그러니까, f(x)를 위에서 보인 것 같은 복잡한 식이 아니라, 주기가 5ㅠ/3인 보통의 삼각함수로 표현해보고 싶으신 거지요? 그래서 푸리에 급수를 생각하긴 하지만, 몇 항 넘어가서는 모두 계수가 0이 되길 바라는 마음. 그러나, 뜻대로 될 지 안될 지는 확신은 없는 상태.ㅋ 아닌가요?
저도 더 연구해봐야 알 것 같아서 바로 답을 드리지는 못하겠습니다.^^ 지금 처음 받은 연구주제이기 때문입니다. 30번 문제를 보고, 전혀 생각해 본 적도 없는 주제입니다. 무언가 성과가 나오는 대로 다시 말씀을 드리지요.^^
ㅋㅋㅋ네네 그러합니다 코사인의 무한합으로표시까지는 쉽습니다 그담부터가...ㅜㅜ 무튼 잘부탁드립니다^^
일단 코사인의 무한합에서 더 진행되지 않는 것은 확실합니다. cosnx의 계수를 구했을 때, 2m*((-1)^n)*sinmㅠ / (m^2-n^2)에 m=5/6, 25/6, 5/2를 각각 대입해서 얻은 n에 관한 식의 각각 1배, 5/2배, -9/4배를 더한 것이 됩니다. 처음의 기대와는 완전히 다르게 나오는 걸로 봐서는 실패임에 틀림없습니다.^^
저희도 이번에 정병호/정병훈T 5회 모의고사를 만들면서 30번 문제를 이 문제의 변형문제로 만드느라 고민을 많이 해봤는데, 고민하는 과정에서 푸리에 급수와 같은 것은 전혀 생각하지 않았습니다. 저희도 그러할 진데, 평가원 출제위원들께서도 아마 그런 고민 안하시고 만들었을 것 같습니다.^^
ㅎㅅㅇ..이 선생님..저도 의아..
어의없는 풀이로 느껴졌는데..ㅠ
작년 이쌤논술도 ..별로
ㅍㅋㅊ 님은 그래도 나름 논리적이시던데요...하지만 전 정쌤논리에
한표 드리고갑니다..
뭐 일단 저희의 풀이를 지지해 주시니 감사합니다.
다만, '어의'는 임금의 병을 치료하던 의원입니다.^^
좋은 글입니다. 특히 동치변형에 대한 태클과 그에 대한 반론이 너무 훌륭합니다 ㅠㅠ
동치변형이 아닌 풀이가 문제라면 수학 문제 풀이의 80% 아니 90%는 전부 문제 있는 풀이가 됩니다. 100% 동치변형으로만 이루어진 풀이라는 게 과연 존재할 수나 있을까요?
예를들어 무리방정식, 분수방정식을 풀 땐 동치변형이 아닌 변형을 하게 됩니다. 따라서 불필요한 근, 이른바 무연근이 필연적으로 생기게 되고, 그것을 우리는 제거해 주면 그만입니다.
어차피 필요충분조건 개념은 집합의 개념입니다. 원래의 해집합의 원소와 다른 잉여 원소가 생겨나게 된다면 그걸 제거해 주면 그만이에요. 어째서 동치변형이 아닌 풀이가 잘못된 풀이라는 건지 그 비판 자체가 납득이 잘 안 갔는데 좋은 설명 잘 들었습니다.
보통 동치 변형을 잘 못하기 때문에, p와 q가 필요충분조건임을 증명하는 문제에서는 "p이면 q이다."를 증명하고, 다시 "q이면 p이다."를 증명하라고 배우는 것이지요.
"원래의 해집합의 원소와 다른 잉여 원소가 생겨나게 된다면 그걸 제거해 주면 그만"이라는 표현이 딱 좋습니다.^^
저도 방금 "무연근"의 사례를 들었는데 저와 같은 생각을 하고계셔서 신기하군요 ㅋㅋㅋ
사이다 글이네요
어떤 분의 논리가 진짜 마음에 안들었는데 제가 바빠서 분석을 못했거든요.
논리적인 척이 아닌 진짜 논리에 좋아요 하나 누르고 갑니다.
칭찬해주셔서 감사합니다.^^
칭찬2..
정답이십니다..혹 두분이형제?
정병훈쌩 이신지요..강대별관..?
오버스런분석에대한 날카로운
댓글 감사드려요..
형제 맞습니다. 그리고 이 계정은 두 명이 함께 그때그때 쓰고 있습니다.
정말 정말 좋은 글입니다 수험생 입장에서 헷갈릴 수 있는 부분을 제대로 설명해주셨네요
A4로 출력해서 몇번이고 곱씹어 보겠습니다. 감사합니다
좋게 봐주셔서 감사합니다.^^
포카칩님의 글은 동치변형이 아니라면 절대 하지마라는 얘기가 아니라 우선순위를 낮게 설정하라는 것 아닌가요?
동치변형이 아닌 식을 활용하게 되면 불필요한 해가 나올 수 있고 (물론 선생님이 말씀하셨듯 조건이 성립하지 않음을 보이면 되지만), 30번 풀이에서 동치변형이 아닌 풀이중에서 운 좋게 해가 하나밖에 안나오는 경우가 있었는데, 그 부분에 대해서 경고하는 것 아닌가요?
포카칩님의 글의 마지막에는 분명히 양변의 미분을 하지 않는다고 권하고 있습니다. 그 분의 최초의 의도가 '절대 하지 마라'까지는 아니었을 거라고, 답글들을 통하여 유추할 수는 있습니다만, 먼저 미분을 한 풀이를 '운'으로 취급한 부분에 있어서는 비판에서 자유로울 수 없습니다. Starbish님도 운 좋게 해가 하나밖에 안나오는 경우를 말씀하시고 계신데, 여기의 저희의 글을 따라가 보시면, 효율성의 단계에서 봤을 때, 포카칩님께서 제시하신 의 경우가 오히려 운이 좋게도 해가 1개가 나온 것임을 금방 알 수 있습니다. 즉, 포카칩님의 경고는 상황 분석부터 정교하지 못한 잘못된 경고입니다.
다만, 학생들이 이 문제를 풀 때, 늘 효율적인 길로 들어선다는 보장이 없고, 처럼 푼다고 해서 절대로 잘못된 풀이도 아니기 때문에, 그 풀이 역시 옳다고 인정해야 한다고 봅니다.
포카칩님의 경고가 동치변형이 아니면 추가로 나온 해가 답이 될 수 있는지를 점검해야 한다는 정도의 경고였으면, 비판의 대상도 아니겠지요. 그러나 분명히 포카칩님의 글은 그런 이유로 방법을 바꿔야 한다는 식, 그리고 특정 풀이가 더 옳다는 식의 경고였습니다. 그건 분명히 잘못된 것이고, 이런 착각을 하는 이유는 효율성에 대한 평가가 옳고 그름에 대한 평가로 둔갑해버리기 때문이라고 봅니다.
먼저 미분을 한 풀이를 '운'으로 취급한 부분에 있어서는 비판에서 자유로울 수 없습니다.
에 대한 해명을 듣고 싶네요.
제가 "미분을 한 풀이가 적정성 검증을 한 학생에게도 운으로 맞췄다"
정말 그렇게 해석되던가요? 글을 제대로 읽으신것 맞나요?
"어차피 동치변형 고려 안하고 풀었으면 운으로 맞췄다" 라고 해석하는게 당연한것 아닌가요?
효율성 분석을 다 하셨다고요?
선생님께서도 6평 30번 처음 접하시고 양변 미분 하시기 전에, 저기 있는 모든 효율성 분석에 대한 고려를 전부 일시에 끝마친 뒤 "아.. 결국 미분하는게 가장 효율적이니 미분해야겠다." 하고 미분하셨으리라 굳게 믿겠습니다. 물론 잘하시는 선생님이시니 그럴수도 있다고 생각합니다.
저는 학생이 그정도의 실력을 갖췄다면, 문제에 연필한자 안갖다대고 답을 찍어도 그 학생은 논리적 하자 없이 답을 맞췄다고 믿겠습니다. 보여지는 풀이가 얼마나 수학적으로 타당하고 효율적인지를 믿는게 아니라, 저는 그 학생이 어떠한 사고로 문제를 풀었는지를 믿기 때문입니다.
제가 "미분을 한 풀이가 적정성 검증을 한 학생에게도 운으로 맞췄다"
정말 그렇게 해석되던가요?라고 하셨는데, 포카칩님께서는
그런데 이 문제의 꼴로 주어진 함수는 다행히도, 미분한 식과 원함수가 완전히
동치라는 것을 따로 증명하지 않은 경우이더라도 운이 좋게 답을 맞췄음을 알 수 있습니다. 즉, 미분해서 x=-a/2를 대입했는데 아주 기적적으로 a가 유일하게 하나만 있었고, 따라서 "운이 좋게" a값을 찾을 수 있게 되었습니다.
라고 쓰셨습니다. 이 부분이 적정성검증과 무슨 관련이 있는 거지요? 그냥 x=-a/2를 대입했는데, a가 유일하게 하나만 있었다면, 그 하나의 a에 대해서 적정성검증을 했든 안했든 운이 좋다고 표현하신 거 아닌가요? (그 글에 적정성 검증이라는 말은 전혀 없었습니다만...)
효율성 분석은 중요한 문제가 아닙니다. 어떤 사고로 문제를 풀었는지가 중요하지요. 그러나, 포카칩님의 글에 달린 덧글들 중에 효율성에 대한 관점으로 포카칩님의 글을 옹호하신 분이 있었기 때문에, 효율성을 분석하려면 정확하게 하라는 뜻으로 쓴 것입니다.
"그런데 이 문제의 꼴로 주어진 함수는 다행히도, 미분한 식과 원함수가 완전히
동치라는 것을 따로 증명하지 않은 경우이더라도 운이 좋게 답을 맞췄음을 알 수 있습니다. 즉, 미분해서 x=-a/2를 대입했는데 아주 기적적으로 a가 유일하게 하나만 있었고, 따라서 "운이 좋게" a값을 찾을 수 있게 되었습니다."
의 대 전제는 동치(a가 똑같이 나오느냐)가 아니라는 것을 몰랐을 때를 전제로 말하는 것이고, 그 부분에 대해 제가 글솜씨가 모자라지만 (이부분에는 정말 여러번 양해를 구하고 싶습니다) 알고 있었느냐를 여쭤봤던 것입니다 왜냐하면 뒤에 가급적 미분하지 않는다는 이야기도 덧붙였기 때문에 저는 애초에 절대 안된다는 이야기는 하지 않았으니까요
이 보다 낫고, 로 푼 사람은 운으로 맞은 거라고 하면, 그 표현을 "는 안된다."라고 받아들이지 않을 분들이 거의 없을 것 같습니다.
더군다나 잘 모르는 분들이 이렇게 주장하시면 모르지만, 수학에 대해서 어느 정도 전문가로 알려진 분들이 이렇게 주장하시면 잘 모르는 분들은 그렇게 받아들일 수밖에 없는 거 같습니다. 오죽하면 포카칩님의 글에 달린 답글 중에 한석원선생님 풀이와 같은 풀이인 줄로 착각한 답글들도 있었지 않습니까?
포카칩님의 좋은 의도는 알고 있지만, 포카칩님의 글이 다른 분들에게 미치는 영향이 좋지 못하다고 판단해서, 일단은 비판적으로 대할 수밖에 없었습니다. 여전히 처음에 글을 쓰신 의도를 나쁘게 생각하고 있지는 않습니다.
1단계 풀이 3번에서
조건 (나)의 식이 항등식이므로
미분한 식 또한 항등식인데
a값이 두개가 나온다면
두 a에 대해서 모두 항등식을 만족해야 하지 않나요??
특정 a값에서 어떤 실수 x를 대입했더니 모순되더라,
그래서 그 a값은 폐기되고 나머지 a만이 답이다 하는것은
모든 실수 x에 대해서 주어진 조건식을 만족하는 a를 찾는 문제의 풀이이고
지금 문제에서 이미 모든 실수 x에 대해서 성립한다고 전제했기 때문에
a=pi일 때 어떤 실수 x에 대해서 식이 모순된다고 밝혀지는 순간
조건 (나)는 항등식이 아니고 따라서 문제가 잘못되었다고 생각합니다.
이런 오류를 극복하려면 출제할 때 a의 범위를 pi
명제 "조건 (나)가 성립하면 a=ㅠ 또는 a=5ㅠ/3이다."는 참입니다.
그러나 명제 "a=ㅠ일 때 조건 (나)가 성립한다."는 거짓입니다.
조건 (나)는 x에 대한 항등식이라고 했을 뿐, a에 관한 항등식이라고 나온 적은 없습니다. 따라서 특정한 a의 값에서 모순이 발생했다고 해서, 문제 오류라고 볼 수는 없습니다.
조건 (나)가 모든 실수 x에 대해서 성립한다고 가정하고
양변 미분하고 x에 0,-a 대입한 상황이 아닌가요??
그러면 a=pi or a=5/3pi 인데
a가 pi일 때 x=-1/2pi 이면 모든 실수 x에 대해 성립하지 않는 상황이라는게 문제가 있다는 생각입니다.
분명히 미분할 때는 모든 실수 x에 관해서 성립한다고 생각했기 때문입니다.
그리고 이 문제는
모든 실수 x에 대해서 조건 (가),(나)를 성립하도록 하는 a를 찾는 문제가 아니라
그냥 모든 실수 x에 대해 조건 (나)가 성립하고있는 상황입니다.
만약 모든 실수 x에 대해서 성립하는 a를 찾으라고 했으면
선생님 풀이가 맞는 것이고
두개의 a값중 하나를 탈락시켜야겠지만,
미세한 차이일지라도,
모든 실수 x와 어떤a에 대해 항등식인 식에서 a를 찾으라고 이해하고 접근하는 학생 입장에서는
풀이 도중에 a가 두개 나온 상황이 굉장히 찝찝하게 되네요.
(정확히는 이렇게 되면 둘중 한가지의 a를 지운다기 보다는 계산에서 틀린 지점이 없나 검토를 반복하게 되죠)
Q. a가 pi일 때 x=-1/2pi 이면 모든 실수 x에 대해 성립하지 않는 상황이라는게 문제가 있다는 생각입니다.
A. 모순이 발생한 이유는 문제 오류 때문이 아니라, a=ㅠ라고 가정했기 때문입니다. 따라서 a=ㅠ가 아닌 것입니다.
Q. 모든 실수 x에 대해서 조건 (가),(나)를 성립하도록 하는 a를 찾는 문제가 아니라 그냥 모든 실수 x에 대해 조건 (나)가 성립하고있는 상황입니다.
A. 두 표현은 같은 표현입니다. 조건 (가), (나)가 성립함을 가정하여, a를 구하는 문제입니다.
Q. 정확히는 이렇게 되면 둘중 한가지의 a를 지운다기 보다는 계산에서 틀린 지점이 없나 검토를 반복하게 되죠.
A. 필요충분조건 여부에 관계없이, 검토할 때 자신이 구한 값이 문제의 조건을 만족하는지부터 하지 않나요? 이 때, 만족하지 않는 녀석이 나오면, 그 다음에는 계산에서 틀린 지점이 없나 검토하게 될 거라는 점은 동의합니다.
직접적으로 비판하셔서 저도 댓글을 달아야 할것 같습니다.
(1) 운이 좋아서 맞췄다
운이 좋았다는 것은 당연히 아무 생각없이 미분한 학생들이 99%였기 때문이여서 그렇게 썼습니다.
결과적으로 어쨋튼 하나가 나왔으니까 운이 좋은게 아니라 맞은 것이다? 아니죠 그렇게 말씀하시면 곤란하죠. 글쎄요 논술에선 맞았다 하겠죠. 수학적으로도 틀린건 아니죠. 서술형에서 저라도 맞았다 할것 같습니다.
가슴에 손을 얹고 맞았다 할 수 있습니까? 얼마든지 다른 상황에서, 무조건 양변 미분해도 맞출 수 있다고 자신할 수 있습니까?
그건 학생들 마음에 달려 있고, 저는 조사 해보지 않았지만 100에 99 "아무 고려 없이 미분 했을 것이다" 라고 판단해서 그렇게 썼습니다.
선생님께서도 역시 양변 미분하실 때 동치변형이 아니라는 건 미리 알고 계셨다 하더라도, 그 문제를 푸는 처음 그장면에서 양변 미분할 때 "a가 늘어나면 어떡하지?"에 대한 고민을 했을지에 대해서.. 물론 그부분에서 고민하셨다면 대단하신 것이지만 대부분의 학생들은 안그랬을 거라고 판단합니다.
그러면 맞은 풀이를 구사하고 있더라도 저는 "운이 좋았다" 라고 표현합니다.
차라리 저의 궁예짓을 비난하셨으면 좋겠네요.
(2) 미분한게 결코 효율성 측면?
그래서 미분해서 만약 해 2개 나왔다면 적정성 검증은 어디에다가 하실건가요?
미분한 식에다가 대입해서 적정성 검증 하실거 아니잖아요?
어차피 적정성 검증도 식을 확인하지 않는 이상 다른걸 수치대입해서 소거해야 합니다.
그럼 어디다 대입하실껀가요?
결국, 결론적으로 원식에다가 대입하실거잖아요? 왜냐하면 미분해서 해가 추가된 것인지, 단순히 수치대입으로 인해 해가 늘어났는지도 잘 모르니까요.
물론 문제 구조상 평가원이 그정도로 치사한 집단은 아니니까 차치하더라도,
그러면 적정성 검증을 수치대입할때는 원식에다 할거면 어차피 처음부터 원식에다 대입합니다. 적정성 검증은 원식에다 수치대입으로 할 예정인데, 나는 미분해서 수치대입으로 하고 싶다. 좀 이상하지 않습니까?
뭣하러 미분해서 긁어부스럼을 만듭니까?
물론 제 생각에 미분해서 해구하는게 a=-5/3 pi를 도출하는것, 그 자체는 더 자연스러울 수 있지만 모든 상황을 고려해볼 때 저였다면 미분안하고 대입합니다. 왜냐하면 일반적인 이런 류의 문제에서는 미분하는것보다 그냥 넣는게 더 낫거든요. 문제를 풀기 전에 취할 수 있는 가장 합리적인 방법은 그거거든요.
물론 닭이 먼저냐 달걀이 먼저냐의 싸움이고 문제가 어떻게 출제되느냐 어떤 구조로 출제되느냐에 따라 효율적인 측면이 모두 달라지겠지만, 그 효율적인 측면은 일반적인 상황에서 무엇이 맞다 틀리다 단정짓기 어려운 것 아닙니까?
수치대입해서 적분식에 대입하는게 어차피 잘못됐다고요? 그래서 글에 다 써놨지 않습니까?
적분에 수치대입해도 문제가 있다. 수치대입은 애초에 필요충분조건은 아니기 때문이다. (특히 문자가 들어가는 수치대입은 더더욱 그럴 가능성을 높히죠)
그렇지만 보편적인 상황에서 적분식에 대입하는 것이 확률을 높힌다. 그건 (3)에서 이야기하겠습니다.
(3) 똥밭에 들어가면 어짜피 똥밭이다
똥밭에 두번 들어간거랑 똥밭에 한번 들어간거랑 비교하셔야 맞다고 생각합니다.
이번에 미분해서 -a/2가 더 유리할 수도 있었던 것은 수치대입을 더 정교하게 해서 그런 것이고 문제 구조상 그런 것임이 타당하다고 저는 그부분에 있어서 동의하는 부분 맞습니다.
그러나 일반적인 모든 이러한 상황을 고려해볼 때 미분하는 것은 상당히 위험하며 제가 만나본 아래끝 위끝이 모두 미지수가 주어진 문항에서 미분은 보편적으로 잘 사용하지 않는 방법입니다. (물론 그런 문제를 제가 즐겨 출제해서 제눈에 그렇게 보였을 수도 있습니다.)
a부터 x까지는 양변미분을 먼저 하지만, x부터 x+a까지의 문항에서는 미분 잘 안합니다. 식자체에서 주기성을 최대한 뽑아내려고 먼저 시도하죠
따라서 어차피 똥밭에 들어갈거면 미분하는게 낫다가 아니고,
원래는 미분하면 더 위험해질 수도 있는 문제 구조가 가장 보편적임을 충분히 알리고,
그러나 이 문제는 결과적으로, 그리고 주기성 등 모든 문제 상황을 다 펼처놓고 봤을 때 결과적으로 a= -5/3pi가 유리했다 라고 말씀했어야 했습니다.
전 어차피 이제와서 별로 좋은 답댓글 기대 안하지만 제가 하고싶은 말은 해야겠네요.
조금 다른얘기일수있지만, 작년 9월 15번문제도, 2014였던가요? 6평 30번에 원을 그려서 푸는 풀이는 교과외이다 라던가 하는 논쟁이 있었던 부분들은 신기하게도 출제되지않는거같네요
신기하게도 출제되지 않는게 아니라 굳이 퀄리티 떨어지게 똑같은 소재가지고 재출제할 이유도 없고 다른 것으로 평가하고 싶어하겠죠
대신에 거기에서 얻어지는 교훈은 가끔 다른 단원의 다른 소재로 재출제될 때가 있는것 같네요.
(1) 문제하나 맞추는 데에 가슴에 손까지 얹어야 하는 지는 잘 모르겠습니다. 자신이 구한 해집합에 대해서만 충분히 관찰하면 그만이지요. 저는 이문제 처음 풀 때 과 를 모두 해봤습니다. 그러나 대단하다고 생각하지 않습니다. 아직 잘 모르는 단계에서 아무거나 하다보면 그럴 수도 있는 거지. 그리고 를 선택했습니다. 삼각함수 문제 풀 때, 주기보고 판단하던 습관대로 했을 뿐입니다. a가 많이 나오는 게 싫으니까요.
도형문제에서 sin보다 cos이나 tan를 많이 쓰는 이유도 거기에 있습니다. 거의 모든 문제를 풀 때, 이런 습관을 갖는 게 좋은 거 아닌가요?
아무 생각없이 미분한 학생들도 항등식의 양변을 미분하면 항등식이 나온다는 것 정도는 알고 미분했을 것입니다. (이걸 동의하지 않으시면 뭐 할 수 없습니다.) 그것이 필요충분조건 관계인지 아닌지를 몰랐다고 하더라도. 그리고 필요충분조건 관계인지 아닌지를 몰랐다고 해도 이런 문제 아무리 내도 이번에 맞췄던 학생들은 계속 맞출 것입니다. 어차피 a가 여러개 나오면, 알아서 잘 결정할 것이고, a가 1개 나오면 그냥 답이겠지요. b, c를 구하는 과정이 적정성검증이 자동으로 되는 것이므로, 더 논할 가치가 없습니다.
(2) 미분해서 풀어서 a를 얻었다고 해서 미분한 식에만 대입한다는 기계적 발상을 학생들이 할 것 같습니까? 왜 거기에만 대입해야 하는 거죠? 그리고 적정성검증을 위해서 원식에 대입한다고 해서 처음부터 원식으로만 풀어야 한다는 논리는 도대체 뭐란 말입니까? 우리는 왜 그렇게 딱딱하게 사고해야 하나요? 문제에서 학생이 발견한 모든 조건에 대입해 보는 게 당연한 거 아닙니까?
(3) 무리방정식 문제에서 양변 제곱을 두번 한 문제와 양변제곱을 한번한 문제를 비교하시면 되겠습니다. 뭐가 다르던가요? 똥밭에 두번 들어가나, 한번 들어가나 어차피 똑같습니다. 무연근 여부는 처음식에 대입해서 보는 것입니다.
기본적으로 수치대입 때문에 위험해지는 것을 미분하면 위험해지는 것으로 착각하게 만들지 마시길 바랍니다.
x부터 x+a까지의 문항에서는 미분 잘 안합니다. 맞습니다. 그러나 미분을 잘 안하는 이유는 아무리 미분해도 같은 꼴의 식이 나오기 때문입니다. 별 의미없기 때문에 미분을 안하는 것 뿐, 미분을 한다고 해서 문제되지 않습니다. 혹시라도 원래 이런 유형은 식자체에서 주기성을 최대한 뽑아내는 유형이라고 말씀하시는 거라면, 저도 드릴 말씀이 있습니다. 원래 이런 유형은 어차피 주기성을 뽑아낼 것이기 때문에, 미분해도 주기성이 사라지지 않으므로 상관없습니다.
일단 먼저, (1)~(3)까지 모두 알겠는데, 수학적 팩트가 중요한게 아니라 그것을 개개인이 모두 알고 있었느냐가 중요하다는 말씀을 드리고 싶네요.
왜냐하면 (1)~(3)에서 양변미분해도 상관없는정도의 주장만으로 적분값에 대입해 푸는게 여러모로 더 낫다는 제 주장에 정확히 반박되는건 아닙니다.
선생님께서 양변을 미분하기 위해서 전제하신것이 너무나 많은데 그것을 모두 떠올리는게 문제를 읽고 가능한 상상이냐는 것입니다. 답 다 알고 풀이 다 알고 나서 더 분석되는 것들도 있는것 아니냐는 것이죠
없었다면 할말은 없는데 수험생도 그럴까에 대해 재차 묻고 싶구요
미분해서 a 하나 정해지면 되고 둘이면 쳐내면 된다
이건 저도 몇번 동의한 바입니다. 저는 그게 안되는 방법이라한적은 없습니다.
적분값에 붙은 미지수는 적분상태애서 해결하는게 보편적이라는 주장을 하고싶을 뿐입니다. 글에서 예시로 a부터 x까지 적분한것도 결국 원식에 x=a 대입하셔서 a 구하셨고 제가 본 대부분의 문제는 원식에서 해결하거든요
그래서 가급적 미분하지 않고 원식에 수치대입하는게 가장 낫다고 주장한 것이고요..
수학적 팩트가 우선적으로 중요하지, 개개인이 몰랐다는 이유로 변명이 될 수 없습니다. 수학적 팩트를 모르는 입장에서 수학적 팩트를 아는 입장을 비판할 수는 없는 거 아닙니까? 그런데 왜 수학적팩트를 모르는 입장을 전제로 아는 입장이 비판당해야 하는 건가요? 수학적 팩트를 모르고 시작할 학생들을 배려해달라는 뜻으로 보이는데, 정말로 그런 학생들을 배려하기 위해서라면 애초에 "어느 풀이가 더 나은가?"라고 말하는 게 아니라, "이 풀이도 좋고, 저 풀이도 좋다."라고 말해야 합니다. 과연 포카칩님께서 수학적팩트를 모르는 학생들을 배려하고 있는 것인지, 그리고 그런 배려가 필요한 게 맞는지부터 생각해 보셨으면 좋겠습니다. 적어도 이 글에 많은 분들이 공감하는 이유는 이런 점 때문이라는 것을 아셔야 할 것입니다.
처럼 적분값에 대입해 푸는게 여러모로 더 낫다는 주장은 문제의 상황에 따라 언제든지 뒤집어질 수 있는 논리일 뿐이니, 함부로 그렇게 주장해서는 안된다는 것입니다. 이제와서 포카칩님의 주장을 반박할 필요도 없다고 생각합니다. 학생들의 심리가 개입된 것으로 보고 판단한다면 당연히 학생들에게 물어보면 누구 설명이 더 좋은지 확인해서 알면 될 것이고, 학생들의 심리를 배제하고 이야기한다면 당연히 수학적으로 저희의 분석이 모든 면에서 정확합니다. 굳이 어느 경우인지 따질 필요는 없습니다.
정적분으로 정의된 함수를 보고, 미분을 해본다는 생각은 그렇게까지 많은 이론을 알아야 떠올릴 수 있는 것은 아닐 것입니다. 학생들은 거의 본능적으로 미분을 하지요. 아무 사전지식이 없던 학생들이 미분을 했다고 해서, 식이 틀린 것은 아닌데, 미분한 것이 초래할 결과를 100%는 모르고 있었으니, 너희는 운이 좋은 것이다? 미분했을 때의 의미를 100% 다 알고 푸는 사람이 어디있습니까? 다들 100%는 모르고, 그냥 해보는 거죠. 이렇게 학생들이 항등식을 보고 미분하여 항등식을 얻은 행동을 싸잡아서 잘못했다고 몰아붙인 게 문제지, 사전지식이 없는 학생들에게 "이것도 좋고, 저것도 좋다."고 말한 게 문제일까요?
확실히 끝까지 보장도 못하는 필요충분조건이라는 이름을 몇 분 더 지키기 위해, (사실 지킬 필요도 없는 고정관념에 불과한 것임에도...) 수많은 학생들의 풀이를 다 잘못된 것, 또는 틀리지는 않았으나 좋지 않은 것으로 몰아붙인 것을 지적한 것입니다.
도 옳은 풀이입니다만, 이 에 비해서 갖는 장점은 아무것도 없습니다. 그걸 좋다고 하시는 것은 몇 줄 더 미분하지 않았다는 자기위안일 뿐입니다. 그러나 저희는 그렇다고 해서 효율성을 따지는 범주가 아니라면, 가 보다 더 우월하다고 생각하지 않습니다. 이렇게 할 수도 있고, 저렇게 할 수도 있을 뿐입니다. 보편성은 더 우월한 면이 있어야 획득할 수 있을 것인데, 여기서 그렇게까지 평가할 수 있는 풀이는 전혀 없습니다. 그러므로 수학적인 '근거없이' 보편성이라는 말을 쓰지 않아야 합니다.
선생님께선 주로 적분식의 위끝 아래끝에 a가 있으면 a를 구하기 위해 미분하나요?
그렇지 않을것 같습니다. 위에서 선생님께서 드신 예시도 a를 구하기 위해 적분값에 대입하고 있으며 대부분의 문제에서 그렇게 푸는게 보통입니다. 왜냐하면 양변미분하면 오히려 동치변형이 아니니까 더 나빠지는 경우도 있고 a 구하려고 x에 관해 미분하는것도 이상하죠. 이 문제에서 더 나아져 보이는건 "미분해서"가 아니라 "수치대입한 값이 좋았기 때문"이죠.
그러면 이미 "a를 구하기 위해 양변 미분을 안하는 것이 보편적이다" 라는 주장은 성립하는 것 아닌가요? 보편적이니 가급적 그렇게 풀어라. 그게 잘못된 주장인가요?
미분해서 풀어서도 (적정성 검증이 전제되있지 않다면) 운이 따랐다. 왜냐하면 그런 부분에서 체크를 안한 학생들이 많았을 것이고 식을 그렇게 줬기 때문에 답이 잘 나온것이다. 이 말이 잘못되었나요?
물론 글의 어투상 풀이를 강제로 제한하려는 느낌이 있고 거기에서 오는 거부감이 강하다는건 동의합니다만..
그리고, 애초에 해의 개수를 결국 1개로 결정지어야만 한다면 그 정답은 원식의 수치대입의 어떤 값에 정답이 있는 것 아닌가요?
미분해서 3개, 원식에서 5개나왔는데 적정성검증하려면 미분해서 나온 3개중 2개를 제거해야하는데 그걸 체크하려면 원식에 대입해야 하고 그말은 원식에는 해가 반드시 1개가 나오는 가장 날카로운 수치대입 값이 있다는 증거 아닐까요? 근데도 미분하는게 최선인가요?
그럼에도 선생님의 분석이 적정성검증에서도 가장 최선이라고 확신할 수 있나요?
솔직히 저는 모든 사람을 이해시킬 자신은 없지만, (제가 진짜 뛰어났다면 단번에 이야기했겠지만 실력이 모자라니 새로운 의문이 뜨문뜨문 제기되네요)생각할수록 답답함이 해소되지를 않네요.. 이쯤되면 저도 많이 지겹고 더 논하고싶지 않긴 하지만 만나뵙고 싶기도 하네요 의견차가 좁혀진 부분도 있고 그렇지 못한부분도 있어 보여서요..
선생님께선 주로 적분식의 위끝 아래끝에 a가 있으면 a를 구하기 위해 미분하나요? 라는 질문에는 '주로'라는 말이 들어가서 질문 자체가 문제가 있습니다. 우리는 문제에 맞게 풀어야 하는 거지. 주로 푸는 방법으로 해결해야 하는 것이 아닙니다.
저는 문제를 보고 상황을 판단하는 거지. 기계적으로 정해놓고 풀지는 않습니다. 대부분 학생들이 다들 그렇지 않나요? 제가 그렇지 않을 거 같다고 마음대로 단정하시면 보편성이 획득되는 건가요? 처음의 전제에 동의할 수 없고, 상대의 심리를 꿰뚫는 척하면서 논쟁하는 것은 바람직하지 않다고 봅니다.
보편성은 포카칩님의 머리에서 획득되는 것이 아닙니다. 오히려 실제로 이 문제를 푼 사람들, 혹은 정답에 도달하지 못한 사람들이 어떤 진행을 더 많이 했는가를 조사해보면 쉽게 알 거라고 생각합니다. 뭐 별 의미없는 일이라서 안하는 것 뿐이지요.
게다가 더 문제가 되는 것은 설령 포카칩님의 주장이 '보편성'을 갖고 있다고 하더라도, 그것이 다른 사람의 다른 방식의 접근을 막을 근거가 되지 못한다는 것입니다. 수학을 언제부터 보편성까지 따져가면서 풀어야 했다니요... 포카칩님의 주장은남들과 다르게 풀면, 그것이 아무리 논리적인 오류가 없더라도 잘못되었다는 것으로 보입니다만...
미분해서 풀어서도 (적정성 검증이 전제되있지 않다면) 운이 따랐다를 받아들이라고 하려면, 미분하지 않고, 그냥 포카칩님처럼 푼 것도 똑같이 운이 따른 것임을 받아들이라는 것이 처음부터 제 주장입니다. 저는 이 주장을 하기 위해서 수리적으로 논리의 정합성, 일반성, 효율성의 세 가지 측면에서 설명하고 있는데, 포카칩님은 그냥 자기 풀이는 보편적이라는 주장을 되뇌고 있지 않습니까? 논쟁할 때 '보편성'이라는 말을 들이대는 것은 남들도 다 자기처럼 생각할거라는 착각에서 기인하는 것입니다. 그런 식으로 싸우려고 하면 저도 특정 풀이가 더 보편적이라고 우길 수도 있습니다. 그렇게 하면 더 이상 대화가 되지 않겠죠.
그러니 수리적인 근거로 자신의 풀이가 더 우월함을 입증하십시오. 필요충분조건 상태를 조금더 오래 유지했다는 점은 근거가 되지 않음을 제가 충분히 설명했다고 봅니다. 그러니 다른 근거를 제시해 보십시오. 저는 어느 풀이가 더 우월하다고 말하고 있지 않고, 다 괜찮다고 말하고 있으니, 우월함을 입증해야 하는 책임은 포카칩님에게 있습니다. 그냥 자신의 풀이가 더 보편적이라고 우기는 것은 '떼쓰기'에 지나지 않습니다.
Q. 그리고, 애초에 해의 개수를 결국 1개로 결정지어야만 한다면 그 정답은 원식의 수치대입의 어떤 값에 정답이 있는 것 아닌가요?
A. 정답은 원식의 수치대입의 결과에도 있지만, 그 어떤 형태의 다른 항등식의 수치대입의 결과에도 있습니다. 포카칩임의 뜻대로 되지 않는 이유를 글에서 충분히 밝혔기 때문에 더 대답하지 않겠습니다. 반례의 존재를 보고도 믿지 않는 것은, 무슨 이상한 고집인가요? 이걸 받아들이지 못하는 포카칩님의 관성은 연구에 방해만 됩니다. 하던대로 한다는 생각이 얼마나 문제인지 아십니까?
Q. 미분해서 3개, 원식에서 5개나왔는데 적정성검증하려면 미분해서 나온 3개중 2개를 제거해야하는데 그걸 체크하려면 원식에 대입해야 하고 그말은 원식에는 해가 반드시 1개가 나오는 가장 날카로운 수치대입 값이 있다는 증거 아닐까요?
A. 무리방정식에서도 양변 제곱을 2번 하는 문제들에서 무연근을 제거할 때, 처음 식에 대입해서 확인합니다. 그럼 그 때도 포카칩님은 양변 제곱을 2번하는 것을 잘못되었다고 하시겠네요. 재고할 가치도 없는 말입니다. 답은 당연히 원식에서 찾겠지요. 그것이 원식 이외의 식으로 풀어서는 안된다는 식의 억지 논리로 진행되어서는 안됩니다. 오히려 제가 묻고 싶은 것은 이것입니다. 미분하여 얻은 항등식에 수치대입해서 나온 여러 개의 a의 값의 적정성검증을 왜 미분하여 얻은 항등식에서만 해야 하죠? 그 단계가 되면, 눈에 보이는 등식이 여러개일텐데, 특정한 등식만 검증 대상이 되어야 하는 이유를 더 모르겠습니다. 당연히 검증만 할 수 있다면 아무 데서나 해도 되고, 어떻게든 처음식과 동치가 되도록 정리되면 그만입니다. 그리고 그것은 그냥 검증하는 것일 뿐이고, 특별히 어디에 검증해야 더 옳은 것도 아닙니다.
A가 B의 부분집합이고, B가 C의 부분집합임을 알았을 때, A집합을 구하는 문제에서 B집합을 거쳐서 C집합을 구했다면, 포카칩님은 C집합의 원소 중에 B집합의 원소를 추린 후에 다시 A집합의 원소를 정하라는 의미로 썼다고 볼 수 있습니다. 그런데, 왜 그렇게 해야 하죠? 바로 A집합의 원소인지 아닌지만 보면 되는 거 아닌가요?
....
시간 괜찮으시면 저랑 채팅 좀 요청드려도 괜찮겠습니까? 댓글로는 1년걸릴것 같네요.
거절하셔도 상관 없습니다만 시간 조금만 내어주시면 감사하겠습니다.
채팅이 필요한지는 잘 모르겠습니다. 둘이서만 얘기해서 해결할 일은 아닌 거 같은데요. 포카칩님의 글도 많은 분들이 봤고, 저희의 글도 많은 분들이 봤으니, 공개적으로 말하는 게 맞는 것 같습니다.
그럼 먼저 채팅 후 관련내용을 내용을 공개하는걸 전제로 빠른 진행을 하고 싶은데요. 그건 동의하십니까? 서로 한마디 한마디 하루에 잘해봐야 5마디 저는 답답한데 말이죠
한댓글에 여러개의 사안을 한꺼번에 이야기하니 대화가 잘 되지 않는것 같아서이며 다른 이유는 없습니다.
이 글의 답글정도나 댓글로 최종결론, 필요하다면 과정을 공개하는걸로 하면 좋겠네요.
http://www.gagalive.kr/livechat1.swf?chatroom=mydata1004
기다리겠습니다. 새벽 4시까지 기다릴테니 혹시 오르비 접속하시면 가능하시면 접속해주시면 정말 감사하겠습니다. 10분이면 충분할것 같습니다.
아니요. 이 문제를 너무 쉽게 생각하시는 것 같네요. 그렇게 다른 사람들을 차단한 채로 이야기할 이유가 없다고 생각합니다. 이 문제는 결코 간단하게 끝날 일이 아닙니다. 그러므로 저는 일요일에 다른 일들을 모두 제껴두고, 하루 종일 글을 써야 했습니다. 그렇게 해야 했던 이유는 포카칩님께서 먼저 쓰셨던 글이 있었기 때문입니다. 채팅으로 할 거였으면 처음부터 포카칩님께 채팅부터 걸려고 했을 것입니다.
그리고 이 문제에서 남은 쟁점은 단 하나입니다. "은 다른 풀이들에 비해서 우월한 방법인가?"입니다. 저는 조금도 우월하지 않다고 생각하는 입장이고, 그 근거로 부터 까지 틀린 풀이가 없고, 4가지 풀이 모두 수치대입의 과정에서 충분히 일어날 수 있는 일이므로 일반성이 있고, 효율성의 측면에서도 다른 풀이가 앞서면 앞서지, 뒤지지 않는다고 제시했습니다. 그런데, 포카칩님은 이 우월하다고 생각하는 입장입니다. 그 근거로 필요충분조건 관계를 조금 더 오래 끌고 갔다는 것을 제시하셨는데, 저는 그것이 막연한 감성적 분석에 불과하고, 어차피 적정성 검증을 해야 하는 것은 마찬가지라서 의미가 없다는 주장을 하고 있는 것입니다. 그러니, 포카칩님께서 이 다른 풀이보다 우월하다고 봐야함을 다른 방법으로 논증하시면 되는 것입니다. 아니면, 우월하다는 표현, 그리고 다른 풀이는 운이라는 표현을 거두시면 됩니다. 납득할만한 논증인지 아닌지는 저 혼자 판단할 일도 아니고, 많은 분들이 알아서 판단하시겠지요.
알겠습니다 그럼 계속 댓글로 하지요. 그래도 요약해주셔서 많이 명쾌해졌네요
(1) 운에 대한 저의 입장은 다음과 같습니다.
미분하는 과정이 동치변형이 아님을 몰랐다 -> 운으로 맞춤
적분한 상태로 수치대입하였는데, 여러개 나왔을 때 대처할 수 없다 -> 운으로 맞춤
미분하였고 수치대입하였고 ""그 과정이 모두 문제를 일으킬 수도 있음을 인지하지만"" 답이 하나만 나오거나 적정성 검증이 가능함 -> OK
글 내용에 미분한것 만이 운이 좋은것 마냥 쓴건 아니고,
두 가지 동치변형이 아닌 사례를 소개하는 과정에서 첫번째 부분은 오직 미분에 해당하는 내용이니, 미분해서 풀었으면 선생님이 말씀하셨던 적정성 검증이 없다면 운이 좋았던 것이다
를 강조하고 싶었습니다. 제가 두번째 사례를 소개하면서 적분해서 푸는 것 역시 수치대입의 적정성 검증을 몰랐다면 운이 좋았다는 것을 의미하기도 합니다.
이 부분에 대해서 선생님께서 납득하셨으면 이제 그럼에도 불구하고 가급적 적분된 형태로 풀어야 하는 이유를 다음번 이야기(효율성)를 하도록 하겠습니다.
(2) 효율성에 관하여
일단 저의 주장을 조금 더 보완하자면
원식이 미분된 식보다 최소 같거나 더 우월하다는 것입니다. 더 나쁜 식은 제가 며칠간 찾아봤는데 존재하지 않습니다. 존재한다면 알려주세요.
먼저 선생님께서 제시하신 x= -a/2를 대입할 때 해가 나타나는 빈도(2pi)를 적분된 식에서도 그대로 구현할 수 있습니다.
적분된 식에 x=pi/6와 x= -pi/6-a를 대입하여 같다고 하면 이것 역시 해가 나타나는 빈도가 2pi입니다.
그리고 저는 그 어떠한 식으로 구성되더라도 미분된 식에서 나오는 해의 빈도를 최소한 동일하게 적분된 식에서 구현할 수 있거나, 더 좋게 구현할 수 있다는 확신이 들었습니다.
왜 이런 현상이 일어나냐 하면, 선생님께서 언급만 하고 직접 하지는 않으신 적정성 검증 과정에 있습니다. 적정성 검증을 위해서 원식에 대입을 해야 하는데,
적정성 검증을 위해서 원식에 대입을 하겠다는 것은 즉 원식에 대입하는게 더 괜찮게 수치대입 될 것이라는 것을 시인하는 것입니다. 조금 더 생각을 해봐도, 미분을 하면 더 집합이 넓어지는데 그것이 더 작은 개수의 해를 도출할 것으로 기대한다는 것은 이해하기 어렵습니다.
또 하필 그걸 무리방정식으로 비유로 하셨는데,
무리방정식은 좀 경우가 다른 것이 양변을 제곱하면 그냥은 해결하기 어려웠던 것을 이미 배운 방정식의 해법으로 해결할 수 있다는 엄청난 장점이 생깁니다.
즉 처음부터 우리가 수치대입을 고집할거면 미분해야할 하등의 이유가 존재하지 않습니다. 물론 절대로 하지 말아야 할 이유는 없지만, 굳이 할 필요 없는 일이라는건 조금 효율성이 떨어지는 것이죠.
다만 미분을 해서 혹시 해당 문제가 계수비교법 등으로 해결할 수 있다면 그때부터는 좀 다른 문제가 되겠지요.
이정도까지 읽으셨으면 원식으로 해결하는게 미분해서 해결하는것보다 최소한 더 나쁘지 않고 경우에 따라 우월할 수 있다는 것을 인정할 수 있는 근거가 될 수 있을것 같습니다.
(3) 여기서부터는 선생님께서 동의 하지 않으셔도 저는 만족합니다.
제가 앞에서 언급한 보편성에 대해서입니다.
보편성은 선생님 말 그대로 상대적입니다.
우리가 수학문제를 접할 때는 대부분 처음 보는 경우를 전제로 합니다. 물론 분석을 위해 여러번 풀 수도 있지만, 전제는 처음 푼다는 것입니다.
문제를 처음 봤을 때 대부분의 수험생은 문제의 배경을 모두 이해하고 푸는 것은 아니므로, 과거에 내가 어떠한 풀이를 구사했는지 참고하는 것은 좋은 방법 중 하나입니다.
예를 들어 미로가 있다면, 미로의 답을 다 안다면 이 길로 가라고 명령할 수도 있지만 미로의 답을 모른다면 저는 다음과 같이 해결책을 제시할 수 있습니다. 가급적 한방향으로만 진행해라!
이것은 어떤 수학적인 언급은 아니며 정답이 있는 언급은 아닙니다.
저의 칼럼이고 제가 제시할 수 있는 문제풀이 기법중 하나입니다.
그리고 이런 그때그때 해결하기 어려울 때 과거의 풀이경험으로 보편성을 판단하는 과정은 문제를 빠르게 해결하기 위한 방법중 하나로 동의하는 분들이 많습니다.
대표적으로 폴리아와 같은 수학교육자가 있고 뭐 그건 너무 나갔다하더라도 수험생 분들도 많이들 동의하는 부분이라 생각하여 보편성을 언급하였습니다만, 선생님께서 동의하지 않더라도, 솔직히 절대다수의 수험생이 동의하지 않더라도 저는 이것을 강제할 생각은 없습니다. 다양한 생각을 존중하는 바입니다.
(1) 포카칩 : 미분하는 과정이 동치변형이 아님을 몰랐다 -> 운으로 맞춤
to35hour : 저는 이 부분을 동의하지 않는 것입니다. 매번 필요충분조건인지, 필요조건인지 알고 풀어야 하는 것이 아니라, 그런 것을 잘 모르더라도 적정성 검증만 하면, 결코 운이 아니라는 것입니다. 설령 필요충분조건으로만 풀었는데도, 잘 몰라서 적정성검증까지 했다고 해도 괜찮습니다. 이런 거 잘 모르면 무조건 적정성 검증을 하면 되는 것이지, 무조건 알고 풀어야 하는 게 아니라는 겁니다.
포카칩 : 적분한 상태로 수치대입하였는데, 여러개 나왔을 때 대처할 수 없다 -> 운으로 맞춤
to35hour : 이 경우는 따로 논할 필요 없을 것 같습니다. 운이야 아니냐를 여기서 논하지 않더라도 어차피 이런 상황에 빠진 학생들은 운을 기대하는 선택의 시간을 갖게 될 것이고, 그것이 운이었음을 본인들이 잘 알 것입니다.
(2) 포카칩 : x=pi/6와 x= -pi/6-a를 대입하여 같다고 하면 이것 역시 해가 나타나는 빈도가 2pi입니다.
to35hour : 그 방법은 극점이라는 특수한 상황을 이용해야만 빈도를 같게 만들 수 있을 뿐입니다. 이 문제에서는 미분한 식에 x=-a/2를 대입한 경우에 삼각방정식의 해가 극점에 걸리지 않아서 빈도가 2pi가 되는 것이지, 만약에 숫자가 바뀌어서 극점에 걸리면 빈도가 4pi가 될 수도 있다는 의미가 됩니다. 그러므로, 그 방법으로는 동일한 효율성이라고 말하기에는 무리가 있습니다. 다만, 그런 방법을 찾아내신 것은 대단하십니다.^^
포카칩 : 선생님께서 언급만 하고 직접 하지는 않으신 적정성 검증 과정
to35hour : f(x)를 직접 구하는 과정까지 진행해야, a=5ㅠ/3에 대한 적정성 검증을 완료한 것 아닌가요? 그래서 f(x)를 구했는데, 안했다고 하시면 대체 뭘 해야 하는 걸까요?
포카칩 : 적정성 검증을 위해서 원식에 대입을 해야 하는데, 적정성 검증을 위해서 원식에 대입을 하겠다는 것은 즉 원식에 대입하는게 더 괜찮게 수치대입 될 것이라는 것을 시인하는 것입니다.
to35hour : 적정성 검증 때 원식에 대입하는 것과 원식에 수치대입을 하는 과정은 아무 상관관계가 없습니다. "p이면 q이다."의 증명과 "q이면 p이다."의 증명이 상관이 없는 것과 같은 이치입니다. 적정성 검증 과정에 대한 판단이 왜 이전단계에 대한 판단에 영향을 미쳐야 하느냐는 질문을 드리고 싶습니다.
포카칩 : 처음부터 우리가 수치대입을 고집할거면 미분해야할 하등의 이유가 존재하지 않습니다.
to35hour : 미분을 해서 더 효율적이 된다면, 미분을 해야할 이유가 있는 것입니다. 그렇게 되는 예가 6평 30번 문제입니다.
(3) 포카칩 : 미로가 있다면, 미로의 답을 다 안다면 이 길로 가라고 명령할 수도 있지만 미로의 답을 모른다면 저는 다음과 같이 해결책을 제시할 수 있습니다. 가급적 한방향으로만 진행해라!
to35hour : 미로는 한 번 간 길을 되돌아 가기 위해서는 갈 때의 노력, 시간만큼을 다시 투자해야 하므로, 기회비용의 측면을 고려했을 때 한 방향으로만 진행하라는 말이 타당합니다. 그러나, 수학문제는 미로와 다릅니다. 한 번 간 길을 되돌아가는 것은 처음의 식을 보면 그만이기 때문에, 갈 때의 노력, 시간만큼을 다시 투자할 필요가 없습니다. 그러므로 수학 문제를 미로에 비유하는 것은 적절하지 않습니다.
(1) 미분하는 과정이 동치변형임을 몰라서 운으로 맞췄다는게,
당연히 해당 식에서 동치변형인지 아닌지 증명할 필요가 없다고 생각합니다.
제가 계속 말해왔건 것은 ""미분하는 과정이 동치변형이 아닐 수도 있다는 사실""을 문제풀 때 몰랐을 때, 즉 "당근 필요충분조건 아니야?" 라고 생각했다면 그게 운이라는 것입니다. 마치 수치대입이 "당근 필요충분조건이 아니야?"라고 생각한것과 같습니다.
"당근 필요충분조건 아니야?" 와 "필요충분인지 일반적으론 아니지만 나중에 처리하면 되지"는 다른거지요
이제 이해하셨으리라 생각합니다. 중의적이였을 수 있다 봅니다.
(2)
미분해서 x=-a/2를 대입하였을 때 극점=0으로 식이 만들어지면서, 원식과 미분한 식 모두 주기성이 띄는 그런 상황을 제가 임의로 식을 잡아 구성해보았는데, 절대 우변의 주기가 2pi일때 a의 빈도수가 4pi가 나오는 상황은 만들어낼 수 없으며
(이경우 어떻게 만들더라도 원식이 주기성을 띄지 않아 항상 모순이더군요 전 증명도 하였습니다.)
원식에서 항상 최소 같거나 더 적은 근이 나오도록 수치대입 구성이 비슷한 문제상황에서 한두번의 수치대입으로 어렵지 않게 가능합니다.
한번 몇개 해보시기만 하셔도 제 말이 무슨 말인지 이해하실 것입니다.
극점에 걸리면 다른 몇개가 무연근같은 형태가 나오면서 원식은 최소한 같거나 더 좋게 수치대입되는 값이 반드시 존재합니다.
선생님의 주장은 미분한게 더 효율적인 상황이 존재한다는건데, 즉 가장 효율적인(빈도수 낮은) 수치대입값이 미분한 식에 존재한다는 것이죠
그럼 그문제의 적정성 검증은 미분에다가 해야 최적의 적정성검증이 가능합니다. 말이 된다고 생각하시나요..?
미분이 a랑 관련없는 과정인것 처럼 보이지만 집합의 크기를 키우는 과정 (혹은 동치)이기 때문이고 기존의 근을 그대로 보존한채 식의 형태에 따라 a가 더 늘어날수도있고 유지될수도 있습니다.
(3)에 대해서 선생님이 동의하지 않더라도 노 코멘트 합니다. 비유가 100% 맞지 않음은 인정합니다만 제 의중만 전달했으면 그만입니다.
(1) "당근 필요충분조건 아니야?" 라고 생각했다면 그것은 문제가 있겠지요. 하지만 그런 생각조차 안하고 아무생각없이 미분하여 수치대입한 학생들이 대부분이었을 겁니다. 시간도 쫓기고, 문제 의도도 잘 모르니까, 일단 아무거나 해보는 거지요. 그리고 막상 그런 생각을 할 필요도 없는 문제였지요. 그러니, 운이라고 취급할 이유가 없습니다.
(2) 증명을 했다는 것의 전제에 우함수라는 성질이 들어가 있는지는 궁금하군요. 그건 그렇고, 구간의 경계라는 특수한 점을 발견하고, 혹은 극점을 발견하고 나서야 빈도를 맞추는 방법과 구간 내에 아무데나 걸려도 빈도가 유지되는 방법을 같은 수준으로 생각하신다는 것은 납득이 되지 않습니다. 즉, 애초에 그런 특수한 점을 찾으려고 노력한다는 것, 노력해야만 한다는 것이 이미 불리한 방법임을 드러내고 있는 게 아닐까 합니다.
포카칩님 말씀대로 미분해야할 이유도 없고, 하지 말아야 할 이유도 없습니다. 그러나 미분하기 싫을 때, 효율을 맞추기 위해서 구간의 경계, 극점 등에 찾아야 한다는 것은 조금 문제가 있지 않을까 합니다. 그냥 효율성을 포기하면 되는 겁니다. 어차피 O(n)인 것은 마찬가지이기 때문에, 포기한다고 해서 대단한 손해도 아닌데요. 그러니 학생들은 그냥 아무 풀이나 하면 되는 것이고, 그 어떤 풀이라도 잘 풀어 놓은 것을 운이라고 폄하당할 이유가 없는 겁니다.
가장 효율적인(빈도수 낮은) 수치대입값이 미분한 식에 존재한다는 것이라고 했을 때, 적정성 검증은 미분에다가 해야한다는 주장은 대체 왜 계속 반복하고 있나요? 아무 근거도 없이 계속 이 주장을 끼워 넣는 이유는 무엇인가요? 저는 "p이면 q이다."를 유도해놓고, "q이면 p이다."로 적정성 검증을 하는 것이 처음의 유도과정과 무슨 상관이 있냐는 겁니다. 이 질문에는 답변이 없으셨으면, 그 주장을 계속 반복해서는 안됩니다.
예를 들어, 미분가능한 함수 f(x)가 단조증가한다는 조건을 보고, f'(x)가 0 이상이라는 조건을 얻었을 때, f'(x)가 0 이상이면 f(x)가 단조증가하는지를 확인해야 하죠. 그럴 때, f(x)가 단조증가한다는 조건을 보고, f'(x)가 0 이상이라는 조건을 얻을 때의 증명과정을 따라가면서 적정성 검증을 하던가요? 이건 아예 다른 진행이지 않습니까? 전자는 미분계수의 정의로 하고, 후자는 평균값의 정리로 하지요. 처음에 필요조건을 찾아가는 과정과 그 필요조건이 필요충분조건이 됨을 검증하는 과정은 아예 상관이 없는 겁니다. 아예 상관이 없길래, 교육과정에서도 필요충분조건임을 증명할 때는 "p이면 q이다."와 "q이면 p이다."를 모두 증명하라고 설명하지요. 이건 그냥 다른 두 명제를 증명하는 이야기입니다. 그러니 적정성 검증을 어떻게 하는 게 좋다는 이야기는 그냥 할 수는 있어도, 그것이 처음의 필요조건을 발견하는 과정에서 진행했던 연산만으로 정해져야 한다는 이야기는 틀린 이야기이고, 학생들에게 절대로 그렇게 설명해서는 안됩니다. 포카칩님의 의견대로 하면, 처음에 미분계수의 정의로 유도한 것은 그 역을 증명할 때에도 끝까지 미분계수의 정의로 생각해야 한다는 태도가 될 것 같아서 매우 우려스럽습니다.
(3) 그 의중이 틀렸다는 이야기를 한 것입니다. 수학적 접근법들은 보편성을 판단할 필요가 없습니다. '보편성'이라는 잣대는 다른 접근 방법들을 '보편적이지 않다'라고 규정하여 억압하는 용도로 쓰이기 때문입니다.
그리고 과거의 풀이방법을 참고하여 보편성을 찾는다고 가정하면, 수많은 학생들은 정적분으로 정의된 함수를 보면 미분부터 할 것 같습니다만... 다들 그렇게 미분해왔으니까요.
(1) 정신없이 미분한 모든 사람을 운이 나빴다고 탓하는게 아니라,
그들 중 어찌되었던 사전지식에 미분한 상황이 적분한 상황과 같다고 완전히 동일한 상황이라고 알고 있는지,
동치가 아니라고알고 있는지가 중요하다고 생각합니다.
그부분에 있어서 많은 학생들이 놓치고 있다고 판단하였습니다.
이 문제만을 떠나서 모든 비슷한 상황이 제시되었을 때 오류없이 풀 수 있어야 한다고 생각했기 때문입니다.
사전지식에 동치라 알고 있다면 틀릴 가능성을 내포하고 있는 것이기에 이번엔 맞췄더라도 다른 상황에선 틀릴 수 있다 있다 생각합니다. 즉 결과론적으로 이 문제에서 상관이 없었다 하더라도 평가원이 식을 이쁘게 줘서 맞출 수 있었던 건 사실이므로 운이라 주장하는 것입니다.
예를 들어 인테그랄 x^2 dx = 1/3 x^3라 주장하는 두 학생 A, B의 근거가,
x^n제곱의 부정적분이 A학생은 1/n+1 x^n+1제곱이여서 그렇다고 생각하고 B는 1/3 x^n+1제곱이여서 그렇다고 가정해봅시다.
B는 특수한 상황(n=2)에서만 맞는 이론을 알고 있어서 설령 인테그랄 x^2 dx를 정확히 풀었더라도
저는 사용한 이론이 일반적으로 성립하지 않으므로 우연히 풀었다고 생각하는 것이고 선생님은 그 문제에선 아무 문제가 없는 풀이이며 n=2에서는 맞는 이론이므로 우연이 아니라고 주장하고 있는 것입니다.
이건 토론해봤자 무한 평행선입니다. 저는 한 문제를 바라볼 때 항상 일반적인 공식을 가정하고 거기에 상황을 대입하여 생각합니다. 선생님은 문제를 그 문제 그자체가 전체라 생각하고 있으니 서로 평행선일수밖에 없습니다.
(2) 네 선생님께서 유리하다는 기준을 소요시간, 수치대입의 난이도 (빈도수가 아니라, 찾는데 애를 먹을 수 있다) 생각하시면 문제에 따라 효율성 다 달라질 수 있다 봅니다.
그냥 효율성을 포기하는게 차라리 더 효율적일 수 있겠다는 그 의견에 역시 동의하겠습니다.
다만 선생님이 효율성의 근거로 근의 빈도수를 들고 계셔서 제가 지루하게 증명을 좀 해봤을 뿐입니다.
(참고 증명의 개요 : 함수 f(x) (이문제에선 우함수 중 하나이겠죠)가 모든 x에 대하여 F(x+a)-F(x)=g(x)를 만족시키는 a가 a1, a2, a3, ... 라고 하면, f(x+a)-f(x)=g(x)는 x에 그 어떤 값을 수치대입을 하더하도 a1, a2, a3, ... 는 반드시 a로 해로 도출되며 거기에 b1, b2, ... 도 추가되어 존재할 수 있고 존재하지 않을 수 있습니다.
미분된식에 수치대입한 것이 가장 빈도수가 작다면 a1, a2, a3, ... 중에 적어도 하나이상 제거되었다는 것인데 앞의 가정에 모순됩니다.
또한, 모든 x에 대하여 F(x+a)-F(x)=g(x)를 만족시키는 a가 a1, a2, a3, ... 라고 하면, 어떤 x의 특정 수치대입값을 연립을 통해 구했다면 정확히 a가 a1, a2, a3, ...가 되게끔 하는 x의 수치대입값이 적어도 하나 존재해야 합니다.
따라서 원식의 가장 강한 수치대입값은 반드시 미분해서 대입한 최소 빈도수 값보다도 빈도수가 같거나 더 작습니다.)
그래서 선생님이 제시한 x=-a/2와 동일주기의 x값을 원식에서 쉽게 찾을 수 있었고 문제 상황이 바뀌어도 저는 같거나 더 좋은 수치대입값을 찾을 수 있다고(시간은 걸릴지 모르지만) 이야기드린 것입니다.
저는 어차피 풀이 뒤를 다 모르니, 빈도수가 적게 나올 것으로 기대되므로 원식에서 푸는것과 미분해서 푸는 것 둘다 생각이 났다면 그냥 원식에서 푸는게 더 효율적이겠다 판단한 것이고,
선생님께서는 미분해서 -a/2를 넣으면 근의 빈도수가 그래도 상당부분 적게 나올 것이라고 판단해서 넣었으리라 생각합니다. 역시 옳은 풀이입니다. 합리적입니다. 다만 미분하면 빈도수가 가장 적지 않다는것에 대해서는 수학적으로 증명했기 때문에 제 입장이 맞을 것입니다.
즉 선생님의 효율성 기준이 계산 줄수나 소요시간까지 모두 고려한 것이라면 더이상 선생님과 싸울 의향은 없을것 같습니다. 다만 처음에 주장하신 근의 빈도수 내용에 대해서만 반박한 것입니다. 사실 이 글의 내용 중 빈도수에 대한 내용이 나왔을 때 이걸 반박하려고 하다보니 댓글이 길어진 것이거든요
앞으로 글을 쓸 때 그런 부분은 조심하도록 하겠습니다. 가급적 ~~한다기보다는, 저는 ~~한 이유 때문에 이렇게 푸는 것이 더 낫다고 생각하지만 굳이 강요할 의향은 없다는 정도로 표현했다면 좀 더 좋았으리라 생각합니다.
(3) 아래끝 위끝에 문자 a가 들어가면 a를 구하기 위해 원식에 대입하기 때문에 그런 이야기를 한 것입니다
이 글의 a부터 x까지의 예시에서도 x=a를 원식에 대입하여 a를 구하고 있습니다.
그런 측면에서 다수의 경우 a를 구할 때 미분이 개입되지 않는다는 주장을 했던 것입니다.
선생님께선 풀이를 어느 정도 정해놓는 것이 다른 풀이를 억압하기 때문에 문제일 수 있다 하셨는데 그부분에선 동의를 합니다. 그치만 한편으로는 저는 일관된 풀이과정이 수능시험 고득점에 중요한 요소라 생각하기에 그렇게 썼습니다. 그것이 물론 다른 풀이를 억압하고 비하하는 단점이 있다 하더라도, 저는 그만큼 결과적인 장점이 있다고 판단하였습니다.
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저는 여기까지만 댓글을 달고 더이상 달지 않겠습니다 이제 만날 접점들은 만나고 어떤 부분은 여전히 평행선일 수 있지만 제가 할 수 있는데까진 한 것 같습니다. 몇일동안 답변을 기다리는게 매순간 두렵고 지치고 힘이 들었습니다.
제 생각을 충분히 여러번 전했다 생각하며.. (사실 제가 이 댓글들 때문에 며칠간 마음에 걸려 잠도 제대로 자지 못해서.. 쉬고싶네요)
앞으로 이 글을 읽는 많은 분들이 스스로 판단하길 기대합니다.
선생님도 그동안 답글 다시느라 수고하셨습니다.
저는 항등식에서 조심할 점을 전달했다는것에 의의를 두겠습니다.
바빠서 며칠만에 오르비에 들어왔습니다. 답글을 이제 보고 답변을 드립니다.
(1) 포카칩님께서 적절하지 않은 예를 계속 대려고 하니, 토론이 되지 않는 것입니다. 포카칩님께서는 x^2 dx = 1/3 x^3라 주장하는 두 학생 A, B의 근거가, x^n제곱의 부정적분이 A학생은 1/n+1 x^n+1제곱이여서 그렇다고 생각하고 B는 1/3 x^n+1제곱이여서 그렇다고 가정해 보자고 했는데, 그것은 어차피 A는 처음부터 옳게 알고 있고, B는처음부터 옳지 않게 알고 있다는 것을 전제한 것입니다. 이것으로부터 나오는 결론은 당연히도 A는 옳고, B는 틀렸다입니다. 결국 그 예를 놓고, 포카칩님은 A이고, 저의 주장은 B도 옳다고 한거라고요? 이건 뭐, 저의 주장은 처음부터 틀렸으므로 안된다는 거랑 같은 말씀을 하시고 계신 것입니다. 그렇게 생각하시는 거라면 그렇게 말씀하시면 그만이고, 그렇게 생각하지 않으신다면 제시한 예를 철회하시지요. 그냥 좋게 보면, 포카칩님께서 비유에 능하지 않다고 이해하고 싶습니다. 혹시라도 저 비유가 옳다고 생각한다면 결국 포카칩님은 똑똑해서 A라고 생각하고, 로 푼 사람들은 멍청해서 B라고 생각한 거라는 말씀으로 이해하겠습니다.
포카칩님께서
"저는 한 문제를 바라볼 때 항상 일반적인 공식을 가정하고 거기에 상황을 대입하여 생각합니다. 선생님은 문제를 그 문제 그자체가 전체라 생각하고 있으니 서로 평행선일수밖에 없습니다."
라고 말씀하신 부분을 보니, 포카칩님께서 왜 이렇게 간단한 문제를 못 받아들이시는 지 알겠습니다. 수학에 있어서만큼은 관용이 없어서 그렇습니다. 포카칩님께서 스스로 수학실력이 발전하지 않을 길로 가시겠다는 것은 포카칩님의 문제니까, 제가 막을 일은 아닙니다. 다만, 남들에게도 그렇게 발전적이지 않은 길을 고집하라고만 요구하지만 말아주세요. 포카칩님의 방법만이 언제나 옳은 것은 아닙니다. 바로 그런 독선적인 자세때문에 이번에 저에게 공격을 당하신 것입니다. 일반적인 공식을 먼저 가정하고 논의를 시작하면 그 전제에서 벗어난 생각을 하지 못해서 발전이 없는 거죠. 그리고 자신이 가정한 공식에만 집중해서 대화를 하게 됩니다.
그저 문제를 풀 때는 문제에 집중해야 하고, 새로운 정리를 발견할 때는 우연이든 필연이든, 필요충분조건이든 아니든, 하나하나 발견해야 하는 것 뿐입니다. 이 문제는 이제 더 이야기할 필요도 없을 것 같습니다. 서로 생각이 다름을 확인했으니까요.
(2) 증명이 틀렸습니다.
"모든 x에 대하여 F(x+a)-F(x)=g(x)를 만족시키는 a가 a1, a2, a3, ... 라고 하면"으로 논의를 시작한 거 자체가 잘못입니다. 문제의 모든 조건을 만족하는 a의 값의 집합과 모든 x에 대하여 F(x+a)-F(x)=g(x)를 만족하는 a의 값의 집합이 다를 가능성을 처음부터 배제했기 때문에 증명의 시작부터 잘못되었습니다. 즉, 처음부터 원식은 완벽하다는 전제를 깔고 시작한 것이므로, 당연히 그 결론도 원식이 완벽하다고 나온 것에 불과합니다.
다시 시도해 보시라고 말하기에는 이게 의미가 있는 일인지 잘 모르겠어서, 격려의 말조차 하기 힘들겠습니다.
(3) 다른 사람들의 풀이에도 일관된 사고체계가 있습니다. 포카칩님과 다른 사고체계일 뿐입니다. 그들도 그들 나름대로의 사고체계를 정립한다면 수능 고득점을 받을 수 있습니다.
제가 대성학원에서 담임을 맡은 반 아이들의 노트를 검사해보니 (40명정도), 처음 시작을 로 한 학생과 로 한 학생의 빈도가 비슷했습니다. 물론 이 아이들만으로 경향을 판단하기에는 표본이 너무 적습니다만, 어느 풀이가 더 보편적이라고 정할 수 없다는 정도의 판단의 근거가 되지 않을까합니다.
수학을 다루는 일은 서로 감정을 상하고, 두렵고 힘든 일은 아니어야 합니다. 내용이 맞으면 잘한거고, 틀리면 고치면 그만입니다. (수험생들도 9평보고 문제 틀릴 때 울지 말아요. 고치고 개념을 잘 정리해서 수능 때 맞추면 그만입니다.) 물론 포카칩님께서 며칠간 힘드셨을 거라는 점은 이해합니다. 다만 포카칩님의 글을 보고, 포카칩님과 똑같이 힘들어했을 수험생들도 있었을 거라는 점을 알아주셨으면 합니다. 자기 풀이가 필요충분조건 여부를 생각 못했다는 이유로 부정당했으니까요. 특히 처음으로 30번 풀어서 맞춘 학생들일수록 더 그런 심정이었을 것입니다. 게다가 그 학생들은 포카칩님이나 한석원선생님만큼 수학실력이 있는 것도 아니니, 찝찝하지만 딱히 반박은 못하고 있었을 것입니다.
포카칩님께서 그렇게 힘들어지는 이유는 이 문제를 내용의 옳고 그름의 문제가 아니라, 우열의 문제로 접근했었기 때문이라고 봅니다. 저는 이 글을 쓰고, 여기에 답글을 다는 과정에서 포카칩님만큼 힘들지는 않았던 것 같습니다. (적어도 잠은 잘 잤거든요. 너무 잘자서 문제...) 처음부터 포카칩님보다 제 입장이 더 옳다고 생각했던 부분은서로 다른 풀이에 대하여 우열의 문제로 접근하려고 하지 않았던 것 뿐이었습니다. 더 관용적인 자세로, 학생들의 입장에 서려고 노력했을 뿐입니다.
포카칩님께서 더 댓글을 안 다시겠다고 하시니, 아마 이번이 마지막 댓글일 것 같습니다. 이번 논쟁은 결과적으로 우리들의 삶의 철학이 우리들의 수학적사고조차 집어삼킬 수 있음을 확인하는 시간이 되었다고 생각합니다. 저에게는 분명히 좋은 경험이었고, 학생들을 가르칠 때 좀 더 낮은 자세로 임해야 함을 깨닫게 만드는 시간이었습니다. 포카칩님에게도 좋은 경험이었기를 기원합니다. 이 글을 지켜보신 많은 분들에게도 좋은 경험이었기를 바랍니다.
지금은 교과과정에서 사라졌지만 무리방정식,분수방정식을 풀때 "무연근"이라는게 있었죠, 여기서도 식의 변형을 하면 원래의 근이 아닌 "추가적인 다른" 근이생기지만, 루트나 분모가 0이어선 안된다와 같은 조건에 의해 무연근을 제외해가죠,전 오히려 개인적으로 -a/2 등을 대입하는게 오히려 원래 출제자의 의도라고생각합니다
음... 이 부분은 저도 잘 모르겠습니다. 사람의 마음을 읽는 일은 수학 문제를 푸는 것보다 훨씬 어렵습니다.
명쾌하네요. 30번 말 많아서 뭘 믿고 따라야하는지 혼란스러웠는데, 깔끔한 글 감사합니다~
감사합니다.^^
한석원 선생님이 x대신 x-a를 대입한것이 수치대입법이기 때문에 엄밀히말하면 동치변형이 아니라구요?
항등식에서 문자를 대입하면 그 자체에서는 항등식이기때문에 성립하는건 맞지만 그 문자로 방정식 풀어버리면 필요충분조건이 아니기 때문에 우리가 원하지 않는 무연근이 나올 수도 있다
양변을 미분한 항등식도 마찬가지.. 하지만 다른 조건으로 무연근만 걸러내면 된다. 올바른 풀이다 .
제가 이해한것이 맞나요?
근데 x대신 다른 a(상수)와 같은 문자를 넣어서 방정식 푼거면 이해 하겠는데
x대신 x-a 넣은거는 전체 함수를 a만큼 평행이동한 것으로서 동치변형이 된거 아닌가요?
그러니까 평행이동 시킨것도 동치변형이 아니에요?
뭐 항등식을 양변 미분시킨건 정말 식자체를 완전히 바꿔버린거니까 뭐 적분상수 문제도 있을거고 다 받아들일 수 있겠는데 원래 문제 만든사람이 항등식이라고 준 식은 평행이동 시킨건 동치변형같은데.. 아니면 동치변형이 맞는데 이제 거기서 a를 구하려고 방정식 푸는 순간 무연근이 섞이는건가?
음,,, 모든 실수에 대해 성립하는 f(x+a))=g(x)+b (=y 표현을 위해 임의로)라는 항등식이 있는데 여기에 x대신 x-a를 대입한게 y값은 변하겠지만 양변이 같은건 맞잖아요.
새로운 무연근이 섞이거나 할 일이 없을거같은데
문제에서 항등식을 봤을 때 결국 학생입장에서 어떻게 그 식을 건드려봐야 하는지...
정독을 안해서 그런가 .. 머리만 복잡..
함수의 평행이동도 항등식에 수치대입을 하여 진행하는 과정의 일부입니다. 조건 (나)는 모든 x에 대하여 성립한다고 했는데, x대신 x-a를 넣을 때 x의 범위가 구간 [a/2, 3a/2]에서만 성립합니다. 따라서 동치가 아닙니다.
x대신 x-a 넣어서 푼 후에 결국 x=a/2에서의 미분가능성을 따지는 것은, 처음에 결국 x=-a/2를 대입한 것과 같습니다. 즉, 결국은 x=-a/2를 대입한 것을 평행이동으로 설명한다고 해도 대입했다는 사실이 부정되지 않는 것입니다. 그래프를 조금 그려봤다는 이유로 다른 해석이 되는 게 아닙니다.
f(x+a))=g(x)+b (=y 표현을 위해 임의로)라는 항등식이 있는데 여기에 x대신 x-a를 대입한게 바로 수치대입법이라는 것입니다. 그렇다면 그 식 자체는 맞지만, x가 제한된 범위로 주어진 이상 처음 식과 필요충분조건은 아니라는 것입니다.
아 범위에 대한 생각을 해보니까 이해가 되려고 합니다,항등식의 정의도 살펴봤는데 엄밀히 말하면 범위도 주어져 있어야 한다네요
f(x)=g(x) 라는 항등식에서 f(x)-g(x)=F(x)치환하면 F(x)=0 이라는 상수함수가 나오는데
x에 무엇을 넣든지간에 수치대입에는 한계가 있기 때문에 아무리 값이 0이 나와도 그 함수가 상수함수라고 단정지을 수가 없다는 이야기네요? 그리고 제가 헷갈렸던 평행이동에 대한 부분도 x대신 x-a라는 값을 대입하면 범위에 따라서 원래 구하고 싶었던 근이 빠질수도 있고 무연근이 생겨날 수도 있는거네요
예를 들어 범위가 [a,2a]면 x-a 대입해서 평행이동 시켰을 때 [a,2a)부분은 사라지는 근들이고 (2a,3a]부분은 새로 생겨나는 무연근들이네요? 맞나요?
그럼 마지막으로 질문이 있는데 범위가
(-무한대,+무한대) 로 주어지면 평행이동한것은 동치변형인가요?
'무연근'이라는 용어를 이 대목에서 쓰는 것이 적당한지는 잘 모르겠습니다만, 대강의 아이디어는 맞습니다.
(-무한대,+무한대)로 주어지면 평행이동한 것은 동치변형은 맞습니다. 다만, 그 경우에는 그렇게 해 볼 필요성은 없어질 것입니다.
"수학은 자유다"칸토어...
를 내세우고싶네요 그......비유적으로 어떻게든
그 당시 수학적 센스를 발휘해 답을 내면 모두 옳은 풀이라 생각합니다. 그런면에서 저는 (이전에 포카칩님을 댓글에서 그냥 깐것 ㅈㅅ하지만 저는 to35hour님의 의견에 동의합니다
30번은 결국 어떻게 나올지 아무도 모르거든요.
우리가 가진 도구들과 경험들 지식들등을 가지고
그 문제 상황에 맞게 논리적으로 시간내에 답을 내는게 관건이기 때문입니다. 좀 돌아가게 풀어도 답을 내 맞추는게 중요합니다~ 고딩시절 올림피아드, 대수경문제등를 많이 해봤고 지금도 시간나면 그런점에서
전 자유를 존경합니다ㅎㅎ
저.....근데 쓰신글에 오타발견했어요
f (x)=(-1)^n 9/4 cos3x~~~라쓰셨는데 (-1)^n+1이에요ㅋㅋㅋㅋ 옥의티 발견!
그렇군요.ㅋ 이럴수가
드디어 긴 논쟁의 끝이 보이는 듯 하네요. 두 분 다 수고하셨습니다. 비록 학생이지만 수학 교육에 관심이 많은 저로서는 많은 것을 느끼게 해주셨던 것 같습니다. 댓글 하나하나 올라올 때마다 잘 보았습니다. 건강한 교육관은 물론이거니와 학생들을 위하시는 마음과 열정이 참 대단하신 것 같습니다. 비록 처음보다는 이 논점에 대한 관심이 매우많이.. 식은 것 같지만 관심있게 지켜보는 학생도 있었다는걸 알려드리고 싶어서요 ㅎㅎ 감사합니다!
끝까지 관심 가져주셔서 감사합니다.^^
to35hour선생님, 집요한 분이셨군요. 6평 이후에 잠시 댓글 논쟁에 참여했었는데 최근 오르비 안들어온 사이에 일이 이렇게 커진 줄 몰랐습니다. 이번 논쟁은 논리전개면에서 선생님의 완승인것 같습니다. 포카칩님이 처음에 하고 싶었던 얘기가 뭔지를 이해못하는건 아니지만, 다른 풀이를 '운이다'라고 평가절하한 것은 저도 처음부터 납득할 수 없었고, 결국 자신의 풀이가 더 우월하다는 것을 증명하지는 못한것 같네요.
어쨌든 수고하셨습니다. 가르치는 입장에서는 생각할 거리가 있긴 했는데, 학생들은 이거 다 읽느라 공부 못할까봐 걱정....ㅋ
논쟁에서 누군가에게 이기고 지는 것은 중요하지 않습니다. 저도 포카칩님의 의도는 백번 이해합니다. 다만 거기서 학생들이 느낄 찝찝함을 제거해드리고 싶었을 뿐입니다. 학생들은 풀이방법들만 읽어도 된다고 생각합니다.^^
저는 여기서 나온 논의들을 몰랐다면 운이 좋아서(상황이 좋아서) 맞췄다고 생각한다는 것에는 지금도 조금의 생각 변화가 없는데,
남을 설득하는 것을 포기했고, 뭐 이미 맞춘 학생들에게 운이라 말할 필요도 없을것 같고 저 또한 댓글로는 도저히 설득할 자신이 없어서.. (사실 벽대고 이야기하는 기분이라 ㅠ 제가 필력이 부족한 탓이겠죠) 더이상 댓글달기를 포기한 것일 뿐입니다 뭐 서로의 운의 기준이 다른 것이겠죠. 다른 쪽으로 더 도움줄수 있으면 그런 것으로 해보려고요.
저 역시 선생님께는 아무 감정은 없는데 댓글에서 다른 몇몇 분들의 비아냥 때문에 인신공격으로 느껴져 조금 마음이 상했고(상처도 많이 받고) 그부분은 아직도 마음이 걸리긴 합니다만 그냥 제가 저지른 부분도 있으니 제가 가만히 있는게 가장 도움되는것 같습니다.
유명한 선생도 실수를 하는군요..
계속 헷갈렸었는데 상세한 풀이 감사합니다!!
2년 전 글에서 많이 배워갑니다!
3년만에 읽어도 명문입니다 선생님 ㅎㅎ
그런데 f 함수식에서 (-1)^{n+1} 같습니다. n=0을 대입했을 때 -9/4 cos (3x) .. .가 나와야 해서 부호를 맞추려면 지수가 n이 아닌 n+1이어야 합니다.
위에오타 지적써있어용
간만에 다시 와서 복습하고 갑니다 XD
30번정도 찾아왔는데 올때마다 감탄하고 갑니다
항상 존경합니다
성지순례 왔다갑니다