[박수칠] 분산을 (편차)²의 평균으로 계산하는 이유
오늘은 어떤 주제로 글을 쓸까 고민하다가 예전에 봤던
조관 선생님의 포스팅 ( http://orbi.kr/0008006413 )
과 관련된 내용을 써보기로 했습니다.
평균, 분산, 표준편차를 열심히 공부한 학생이라면
한 번 쯤은 해봤을 고민이죠.
——————————————————————
왜 분산은 (편차)²의 평균으로 정의될까?
(편차의 절댓값)의 평균으로 정의하면 안되나?
——————————————————————
(변량)-(평균)으로 정의되는 편차는 변량이 평균보다 큰지, 작은지
그리고 평균으로부터 얼마나 떨어져 있는지를 나타내는 지표입니다.
그러다 보니 산포도 계산에 편차를 쓰는 것은 지극히 당연한 일이죠.
하지만 편차의 합은 0이기 때문에 편차의 평균 또한 0입니다.
이 때문에 편차를 제곱해서 0 이상의 값으로 바꾼 다음
평균을 계산하게 되고, 이를 분산으로 정의합니다.
여기서 편차의 제곱 대신,
편차의 절댓값을 쓰면 안될까요?
이를 알아보기 위해
세 변량 a, b, c (단, a < b < c)의 대푯값을 x로 두고
(편차)²의 평균과 (편차의 절댓값)의 평균을 조사해봅시다.
(1) (편차)²의 평균은 다음과 같습니다.
그리고 분자가 x에 대한 이차식임에 주목해서
완전제곱꼴로 변형하면 다음과 같습니다.
따라서 (편차)²의 평균은 일 때
즉, 대푯값 x가 a, b, c의 평균일 때 최소가 됩니다.
(2) (편차의 절댓값)의 평균은 다음과 같습니다.
그리고 분자가 일차식의 절댓값의 합임에 주목해서
분자로 만든 함수의 그래프를 그리면 다음과 같습니다.
따라서 (편차의 절댓값)의 평균은 x=b일 때,
즉 대푯값 x가 a, b, c의 중앙값일 때 최소가 됩니다.
대푯값 x가 평균일 때 (편차)²의 평균이 최소,
대푯값 x가 중앙값일 때 (편차의 절댓값)의 평균이 최소인 것은
n개 의 변량 에 대해서도 마찬가지입니다.
(3) (편차)²의 평균
따라서 (편차)²의 평균은 일 때,
즉 대푯값 x가 의 평균일 때 최소가 됩니다.
(4) (편차의 절댓값)의 평균
i) n이 홀수일 때
일 때 최소
ii) n이 짝수일 때
x가 구간 에 속할 때 최소
i), ii)로부터
(편차의 절댓값)의 평균은 또는 일 때
즉, 대푯값 x가 의 중앙값일 때 최소가 된다고 할 수 있습니다.
따라서 (편차)²의 평균은 대푯값이 평균일 때 최소이므로
평균 에 대한 분산을
으로 정의하는 것이 자연스럽다는 것을 알 수 있습니다.
또한 변량 의 중앙값이 일 때
(편차의 절댓값)의 평균
를 '평균편차'라고 하며, 임금 근로자 연봉 분포처럼
변량의 분포가 한쪽으로 치우친 경우에 산포도로 많이 사용합니다.
그리고 대푯값/산포도로 평균/분산(또는 표준편차)을 사용하면
중앙값/평균편차의 조합보다 공식의 변형이 자유롭다는 장점이 있습니다.
덕분에 분산을 { (변량)²의 평균 } - (평균)²으로 계산할 수도 있고,
미분/적분이 상대적으로 쉽죠.
추가적인 장점이 또 있는데
그건 제가 이해를 못해서...
[참고 자료] 기초통계학의 숨은 원리 이해하기 (김권현 저)
[알림] 박수칠 수학 미적분1-적분법 단원 부교재가 업로드 되었습니다.
본교재 문제에 수능/모평/학평 기출 54문제가 추가되었습니다.
다음에 작업할 단원은 미적분2-적분법입니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
내가 보기엔 미친 친구새끼가 입문 담배로 이거 물려서 그럼 ㅅㅂ
-
사문 개념을 한지가 너무 오래돼서 가끔가다 헷갈리는 개념이 몇 개 있는데 모의고사...
-
ADHD 약 0
조용한 adhd 심한편인데 약복용이나 효과 부작용 검사같은거 물어보실거 있으시면...
-
야뎁도 안올라오고 번장에서 구하자니 너무 호구잡히는 느낌이고.. 해설지,퀄,난이도...
-
본인 말보로 골드 4년 피다가 최근에 말보로 화이트 후레쉬로 넘어감
-
부시럭부시럭
-
내일의 일은 내가 알아서 하것지 뭐
-
08년생 고1 이구요 내신 1학기 4.4등급인데 여기서 내신을 더 올릴 수 있는...
-
많은데 다 잘됩시다 그리고 잘될거니까 너무 걱정마시고 그냥 해봅시다 씨팔 죽이 되든...
-
나이들었는데 결혼 X or 모쏠이면 걍 하자있는 인간으로 찍힘? 왠지 내 인생이 저래 될 것 같음
-
사문 지구 선택자인데 수능날까지 사문 1일2실모 -> 틀린개념 복습 지구 1일1실모...
-
왜케 춥냐 2
이건 아니궈던
-
중경시건동홍정도 중간라인 대학에서
-
대구 현강 4
일주일에 하루 대구에서 대치로 현강 가는거 어떻게 생각하시나요?? 수능 2과목...
-
수능 끝나고 딱 가야지
-
ㅈㄱㄴ
-
이영수t 유베가는길, 구문20수air, 파데 상하 워드마스터 2000,...
-
철도기관사의 필수 덕목을 일컫는 말이다.
-
이건....
-
서킷 풀었는데 어렵네... 1회 풀었는데 60분 3문제 틀림 대가리 깨지는 목적으로...
-
작년 이감 2
작년 이감 모의고사 남은거 몇개 있는데 지금 풀어도 될까요?
-
김승리 쌤 귀엽 1
아니 공부하다 미쳤는지 김승리 쌤 너무 귀여워보임 당황스럽다 말도 너무 재밌게 해서 결혼하고 싶어짐
-
기출vs쎈 3
문제풀이의 논리는 수1 수2랑 똑같아서 큰 어려움은 없는데 지수로그함수 극한 미분...
-
문과 정시 2
문과 정시면 현역으로도 가능하지 않을까..요?
-
진짜 지능을 의심하게 됨
-
강k는 너무 어려워 디지겠음
-
슬슬 자야겠다 3
생각은 많은데 여기서 오르비 그만 안하면 밤 샐것 같음
-
수많은 실들이 꼬여있고 겹쳐있고 교차돼 있어서 정밀한 예측이 불가하다고 생각함...
-
생1 지1중에 2등급 받기 더 쉬운 과목은 뭔가요? 3
2년만에 무휴반으로 수능을 치는데 생명은 과외하면서 비유전 절반 정도랑 막전위...
-
D-52 반수 화이팅
-
일단 내가 만약 고정 1등급이 아니다.그러면 일주일에 실모 1회씩 푸는 습관부터...
-
오르비 고능아들의 명석한 두뇌를 뽐내보세요
-
난 이게 사설틱해서 그렇다고 생각했는데 하...
-
사람들아 공부량이라던지 공부루틴 알려주셈 컨이나 실모추천도 조흠ㅁ
-
정시파이터 내신 0
정시파들은 학교 시험 며칠정도 챙김?
-
그냥 어릴부터 이과라 이과온건데 토목 건축처럼 적성 0.1도 안맞는 학과 성적...
-
사만다 별로임 ㅎㅎ
-
길거리 지나다니면서 보면 대부분 180넘는듯..너무 우월하다.심지어 다들 외모도...
-
원래 얼굴 구별을 잘 못하긴 하는데, 이쁘고 잘생겨질수록 어느 한 지점에 수렴하다...
-
다들 국어 실모 주마다 몇개 푸시나요?
-
오랜만 같네요
-
걱정말아요 그대 여전히 아름다운지 흰수염고래 얘네 3개만 무한반복중 내일은 이젠 안녕 들을것 같음
-
지1 질문 3
속성 작용중에서 교결작용이 일어날때는 밀도와 공극은 어떻게 되나요??
-
경아 0
나 지금 너의 사진을 보며 생각에 젖는다 경아 오늘도 나는 네가 오기만 손 모아 기다려
-
2학기 마치고 1월에 해군 수송 지원할 건데 그만한 꿀통이 없다던데 맞나요 배 안...
-
어찌저찌 대학에 왔다 고백했다가 까인 일도 있었다 우울증 씨게 와서 20키로 빠져서...
-
1명은 너를 좋아하고 1명은 너를 싫어하고 8명은 큰 관심이 없다 라고 하지만...
-
완자에서는 겨울철 황해 난류의 영향이 약해진다고 나와있는데, 수특에서는 이렇게...
-
씐나는 노래 0
틀딱 같지만 전 좋아해요
ㅋㅋㅋㅋ 오르비스티커 너무 귀여워여
그러니까요... 진짜 예쁘게 잘나왔어요.
그 외에도 확률변수에 대한 적률 적률생성함수 중심적률등과도 관련이 있지 않을까 생각됩니다.
물량공급님 외계어도 쓸 줄 아셨군요.
좀 배워야겠다...
적률생성함수라는 마법의 도구가 있더라구요
찾아보니 학부 확통 과목에서 배웠던 함수네요.
지금 보니 뭔 얘긴지 하나도 모르겠음 ㅎㅎ
최소점이 평균값이기 때문에 제곱을 쓴다는 건 결과론적인 해석이 아닐까요?
제곱을 써야만 하는 수학적 필연성이랄지, 이런게 있으면 좋을 것 같은데요
예를 들어, 정규분포 함수의 식에는 제곱을 이용한 표준편차가 들어가죠. 만약 표준편차를 다르게 정의했을 때 같은 식을 유도할 수 있는지, 그렇지 않다면 왜 그럴 수밖에 없는지 같은 것들 말입니다
본문의 내용은 결과론적인 해석이라기 보다
{ (변량-평균)²의 합 } / (변량 개수)를 분산으로 정의한 이유의
일부라 할 수 있습니다.
근본적인 이유로 들어가자면
{ (변량-대푯값)²의 합 } / (변량 개수)를 최소로 하는 대푯값이 평균이고,
이 평균을 모집단과 표본의 대푯값으로 쓰면 모평균의 가장 합리적인 추정치로
표본평균이 똭~ 나타납니다.
이 부분을 설명하려면 '최대우도추정법'이라는 걸 알아야 하는데
여기서 굳이 설명할 필요도 없고, 저도 잘 모르거든요 ^^;
그래서 '고등학교 수준에서 이 정도 설명이면 충분하겠다'
싶은 선에서 끝냈습니다.
이런 것 보면 아무 호기심 없이 그랬구나...그렇구나...하고 받아들이는 제 자신이 다행스럽네요. 문과여서 여태 통계문제 풀면서 저런 증명이나 원리를 몰라서 틀린 적도 없고 개이득
몰라도 되는 건 이과도 마찬가지입니다 ^^
그냥 궁금해할 수험생들을 위해 정리한거예요~
loss funtion?
손실함수라...
6시그마 교육받으면서 배웠던 건데
갑자기 왜 나올까요? ㅎㅎ
경영쪽 아니고 경제학부 통계시간에 교수님께 배운건데..
추정량과 모수의 차이를 나타내는 함수를 loss function 이라 하지않나요,,? 이거 배우면서 글에 나온 내용도 같이 알게되고 했던 기억이 나서요~
아~ 용어만 같고, 정의가 다른가 봅니다.
제가 배웠던 것은 품질관리쪽에서 손실 비용 계산에 쓰는 함수거든요.
이유식님이 얘기하신 손실함수까지는 공부를 못해봤어요 ^^
저도 맛보기정도만 한 비루한 학부생입니다 ㅠ
댓글 달아주셔서 감사합니다.
헐 신기하네요 이거 궁금했었는데 감사해요ㅋㅋㅋ 오 신기하다 맨날 하필 왜 제곱일까....이랬었는데
제가 기다렸던 반응이 드디어 나왔군요.
감사합니다 ㅎㅎ
절대값을 왜 안쓸까 했는데 쓰는데가 있기도 하군요
그러게나 말이에요.
저도 참고자료 보면서 처음 알았어요~
조만간 책나오면 살건데 박수칠님 글 너무 도움됩니다 모든글 지우지 말아주세요ㅠ
안지울테니 걱정마세요~ ^^