보고갔으면 하는 작년 평가원 두 문제 풀이

2023년에 출제된 평가원 문제 중 두 문제의 풀이를 보여드릴 겁니다. 

둘 다 제 현장풀이입니다.

특히 두 번째는 의외로 저처럼 본 사람이 많이 없더라고요.

공부하는 데에 도움이 됐으면 좋겠습니다.

1. 6월 21번 지수로그

그래프를 둘 다 움직이는 건 너무 비효율적이에요.

하나는 고정시키고, 나머지 하나만 움직입니다.

이렇게 식을 변형해서 말이죠.

이제 좌변의 함수를 어떻게 인식하냐가 관건인데요,

저는 이 초록색 함수를 오른쪽으로 t만큼, 위로 t만큼 평행이동한 걸로 인식했습니다.

그리고 지수함수의 평행이동을 다룰 때는 점을 잡고 인식하는게 좋은데요, 

무슨 말이냐면 

빨간색 (0,-1) 점을 x, y방향 각각 t만큼 보낸다고 생각하는 겁니다.

그럼 우리는 이 빨간점의 자취를 쉽게 떠올릴 수 있어요.

그 선은 y=x-1이 되겠습니다.

(문제의 ㄱ을 풀면

주황색 직선과 로그함수가 x좌표가 각각 1, 2일때 만난다고도 알 수 있습니다. )

이 주황색 직선을 기준으로 지수함수를 이동시켜주는 겁니다.

예를 들어

이런 느낌으로 말이죠. 

본인은 빨간점을 움직이는 중인거고, 나머지 부분은 알아서 딸려오는 느낌으로요.

이때 지수함수와 

로그함수의 교점 x좌표가 f(t)일 것이고,

주황직선과의 교점 x좌표가 t일 겁니다.

이 관찰 방법은 ㄷ에서 빛을 발하는데요,

머리 쓰지 않고 그냥 시각적으로 명제를 확인할 수 있습니다.

이 그림처럼 t가 1과 2 사이에 있다면,

f(t)<t 입니다.

따라서 ㄷ은 틀린 말입니다.

첨언하여 그 외 구간에서는 f(t)> t 라는 것도 확인가능합니다.

남은 한 문제는 미적분인데요, 

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2. 수능 28번 확대축소

당연히 x<0일 때 f 그리고 시작합니다.

이 정돈 미분이고 뭐고 필요없이 바로 그려야 합니다.

이제 2g+h=k에 대해 감을 잡아야 하는데, 

아래와 같이 보는 것도 방법입니다.

t를 0으로 보내보면 g도 0으로 갑니다. 

즉, h가 k로 가야 합니다.

그리고 t가 조금씩 위로 올라갈 때, 

g감소량의 2배만큼을 h가 증가해줘야 전체 합이 유지될 겁니다.

그림으로 보면 이런 느낌입니다.

매 순간 오른쪽 날개가 검정 선으로부터 2배 멀리 있어야 합니다.

즉, 왼쪽 날개를 두 배 확대한 셈입니다.

그럼 자연스럽게 오른쪽 날개는 이 연두색 식과 관련이 있다고 눈치챌 수 있습니다.

만약 바로 안보이셨다면, 아래 과정을 찬찬히 따라오세요.

우선 왼쪽 날개를 y축 대칭시킵니다. 

x자리에 -x를 넣는겁니다.

그 다음 빨간 날개를 2배 확장시킵니다.

x 자리에 x/2 를 넣는 겁니다.

그럼 아까 말한 그 식이 나옵니다.

근데 이 식 적분하기 참 좋게 생겼습니다. 적분함수가 바로 보이실 겁니다.

x가 2일 때 적분값이 e^4 -1이네요.

그 뜻은,

k가 5라는 겁니다. 그래야 7까지 거리가 2니까, 적분값이 딱 e^4 -1이 되겠죠.

남은 과정은 매우 쉽습니다.

답은 2번입니다.

이 문제에서 챙겨갈 점이 있다면

1. 2g+h=k를 감각적으로 인식해보기

2. 확대축소 감각

정도가 있겠습니다.

다음엔 좀 재밌는 글을 가져올 거 같아요. 기대해주세요

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#무민