a<c<x, x->a+ 이면, c->a+ 라는 명제
다음 논의가 틀린 이유는 무엇일까요?
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클로드 ai에 물어봤는데 x->a+ 이면 c->a+ 인 것은 맞고,
lim(x->a+)f'(c) 일 때 c는 x에 종속된 변수이지만 lim(c->a+)f'(c)에서 c는 독립변수라서
수렴할 때 c의 움직임이 종속돼있을 땐 경로가 제한적이지만 독립적일 땐 아니고,
f'이 불연속인 경우에 특히 이런 불일치가 부각돼 보일 수 있다네요.
위에서 3번째 줄에 문제가 있었네요.
가장 오른쪽 극한(c->a+)이 이 존재한다면 오른쪽에서 두번째 극한(x->a+)이 존재하는 것은 맞지만, 역은 성립하지 않네요. 이는 윗분이 말씀하신 c가 독립 변수인지 종속 변수인지와 유사한 논의이군요.(가장 오른쪽 극한은 c가 독립변수, 오른쪽에서 두번째 극한은 c가 x에 종속된 변수)
극한의 정의(엄밀한 엡실론 델타)를 생각해보면 델타 구간 내의 모든 x의 함수값이 엡실론 구간 내에 있어야 합니다. 오른쪽에서 두번째 극한(x->a+)이 존재하면, 델타 구간 내의 적당한(어떤) c가 존재하여 그 c의 함수값이 엡실론 구간에 있다는 것이고, 이는 극한의 정의에 부합하지 않습니다. (모든이 아니라 어떤 이니까요.)
오른쪽 극한이 존재한다면, 델타 구간 내의 모든 c의 함수값이 엡실론 구간에 있다는 것이므로, 오른쪽에서 두번째 극한도 같은 값으로 존재한다는 것을 알 수 있습니다.(델타 구간 내의 모든 c에 대해 성립한다면, 어떤(일부분의) c에 대해서는 자명히 성립하기 때문입니다.)
정리하자면, 모든과 어떤의 차이라고 할 수 있겠네요.