[칼럼] 원운동의 기하적 해석

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 안녕하세요! 본체만채입니다. 오늘은 원운동을 기하적으로 분석하는 방법을 다룬, 물리학2 칼럼입니다. 원운동은 킬러가 아닌 주제라, 별로 관심이 없으실 수도 있겠지만.. 저는 이 내용으로 큰 도움을 받았던 기억이 있어서 ㅎㅎ 여러분들도 보시고 도움 되시면 사용해보셔도 좋을 것 같습니다.

 이 내용은, 원운동을 하는 하나의 물체에 다양한 힘이 작용하는 경우에 사용하면 참 좋습니다. 아래의 예시를 하나 봅시다. 230917입니다.

 이 문제에서 물체에 작용하는 힘을 모두 표시하면 아래와 같이 나타납니다. 흔히들 ‘Free-Diagram’이라고 부르는 그림이죠.

음.. 근데, 저는 지금부터 이 그림을 조금 다르게 표현해보려고 합니다. 어차피 저기의 힘 벡터들은 모두 합성되어야하는 벡터들이니, 시점과 종점들을 연결해서 이렇게 그려도 무방하겠죠? 저는 지금부터 이 표현을 ‘벡터 연결법’이라고 부르겠습니다.

 이 표현의 이점은, 성가신 2차원 계산을 삼각형을 활용한 기하로 편하게 보게 만들어줍니다. 이 문제에서도 N과 Fr이 이루는 각이 30도이기에, 특수각을 활용하여 표현할 수 있어요. 그냥 이렇게만 봐서는 뭐가 그렇게 대단한 풀이인지 잘 감이 안 오실 수 있는데.. 기출문제 몇 개를 함께 풀어보며 이 풀이의 위력을 함께 살펴봅시다.

 220409입니다. 이 상황을 자유물체도와 벡터 연결법으로 나타내면 아래와 같이 나타낼 수 있을 겁니다.

 자유물체도는 조금은 그림이 익숙하지 않으신 분들을 위해, 지금은 함께 그려드리겠습니다. 다만 벡터 연결법을 통한 풀이가 익숙해지시면, 굳이 그리지 않으셔도 됩니다.

 벡터 연결법으로 상황을 표현하니, 간단한 사다리꼴의 계산이 됩니다. 2N이 mg가 되고, 구심력이 3N임을 활용하면 아래와 같은 간단한 계산으로 마무리할 수 있겠네요. 그냥 풀어도 간단한 문제이지만, 워밍업용으로 함께 살펴보았습니다.

 두 번째는 221110입니다. 벡터 연결법으로 먼저 풀어보고 오시면 좋을 것 같습니다.

 함께 살펴볼까요?

 자유 물체도와 벡터 연결법으로 상황을 표현하면 아래와 같이 표현됩니다. 구심력은 오른쪽과 같이, 간단한 공식들을 활용하여 계산하였습니다.

 여기서 T와 구심력이 이루는 각이 30도이니, 간단한 중등기하를 활용하면 아래와 같이 N을 어렵지 않게 구할 수 있습니다.

 조금 감이 오시나요? 서서히 상황의 복잡도를 높여보겠습니다. 이번에는 200413입니다. 마찬가지로 먼저 벡터 연결법을 시도해보시면 좋을 것 같습니다!

 해보셨나요? 함께 가시죠! 주어진 상황을 자유 물체도와 벡터 연결법을 활용하여 표현하면 아래와 같습니다.

 여기서는 기하적 성질을 통해서, 구심력의 크기를 훨씬 더 빠르게 눈으로 암산할 수 있죠!! 등속 원운동의 공식을 활용하면, 아래와 같이 계산을 마무리하실 수 있습니다.

 다음은 240617입니다. 두 물체가 나오는데, 당황하지 마시고 두 물체에 대하여 벡터 연결법을 모두 적용해보시면 좋을 것 같습니다.

 같이 살펴봅시다. A와 B에 대하여, 벡터 연결법을 통한 그림을 나타내면 아래와 같습니다.

 여기서 A와 B의 질량, 각속도가 같으니 구심력의 크기 역시 같겠죠. 이를 바탕으로 아래와 같이 식을 세우고, 정리하실 수 있습니다. 역시나 특수각이기에, 기하적으로 표현하면 눈으로 보이는 계산들이 훨씬 많죠,

마지막은 처음에 봤던 240917입니다. 사실상.. 이 풀이의 시그니처라고 볼 수도 있는 문항이 되겠습니다. 한 번 다시 그려보시고 오셔요!!

 해보셨나요? 주어진 상황을 벡터 연결법으로 나타내고, 간단한 공식을 통해 구심력을 계산하면 아래와 같은 그림으로 표현됩니다.

 약간의 보조선을 긋고, N과 구심력이 이루는 각이 30도임을 활용하면 기하적으로 N이 3T라는 것이 바로 활용되고, 계산까지 금방 끝나게 됩니다!!

 잘 살펴보셨나요? 오늘 풀이는 속도벡터나 중력 끄기처럼 획기적인 것은 아니지만, 알고 있다면 분명 어딘가에서 여러분의 시간을 줄여줄 풀이였다고 생각합니다. 앞으로도 이렇게 짧게짧게 물2 칼럼 올릴테니, 물2러분들은 팔로우 해두시고 많은 관심 주시면 감사하겠습니다!!