9평 컷을 보고 멘붕이 와서 마음을 정리하려고 쓴 글
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9평 성적이 떴습니다. 이과 물1지2 선택자인 저는 일컷 백백백오십이 실현된걸 보면서 여러 가지 의미로 경탄했습니다. 옛날에 11현역 이과였던 저는 7차 교육과정 내의 평가원 주관 시험들 중 가장 어려웠던 시험과 가장 쉬웠던 시험을 둘 다 경험한 셈이 되었네요. 특정 대학의 의대가 내건 전액 장학금 백분위 조건을 이번 9평에서는 전 과목 만점자조차 충족시키지 못한다는 것을 보고 이번 시험이 얼마나 쉬웠나 느끼게 됩니다.
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오르비 등 어느 정도 상위권 학생들이 모여 있는 커뮤니티에서는 이러한 물수능 기조를 비판하는 글이 올라옵니다. ‘평가원이 변별을 포기했다’, ‘실력대로 대학을 가는 게 아니라 운으로 대학을 가게 만든다’, ‘입시가 개판이 되어간다’ 등등 평가원을 향한 비난의 목소리는 그치지를 않습니다. 국B 1컷 91을 보고 불이라고 외쳤던 수많은 사람들을 보며 실소를 금치 못했던 사람으로서 (다시 말하지만, 저는 11현역 이과였습니다.) 저 역시 이런 기조는 정상이 아니라고 생각합니다. 우스개긴 하지만 9평성적을 바탕으로 만든 인서울권 의대 배치표에는 수능점수가 아닌 선택과목과 내신합, 나이만이 실리게 될 지경이니까요.
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그러나 우리가 불수능을 바라는 그 근본적인 원인이 과연 ‘실력대로 대학을 가기 위해서’인지는 조금 생각해 볼 필요가 있습니다. 물론 저도 물수능보다는 (특히 이번 9평 같이 인터스텔라 파도행성급 물이라면 더욱 더) 불수능이 좋습니다. 완벽한 시험은 없겠습니다만 물수능 기조에서는 ‘실수 하나로 인생이 바뀐다’는 부담이 매우 증폭되고 이는 상위권 입시생들에게 큰 스트레스를 줍니다. 1년간의 공부가 발문을 잘못 읽은 몇 초 때문에 물거품이 되는 상황은 그 누구도 바라지 않을 것이고, 저 역시 마찬가지입니다. 하지만 가슴에 손을 얹고 생각해봅시다. 과연 우리는 ‘모든 이들이 자신의 실력대로 합당한 결과를 얻는 수능이 실현되어야 한다’ 이런 정의로운 사명감 그것 하나 때문에 불수능을 바라는 걸까요?
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사실 ‘실력대로’라는 말은 참 애매합니다. ‘실수도 실력이다’라고들 합니다. 그렇다면 ‘찍기도 실력’일까요? 우리의 ‘실력’을 측정하는 수단으로서 수십만명이 동시에 응시하는 객관식 오지선다 시험인 수능은 참으로 불완전해보입니다. (수학영역에 주관식이 있긴 하지만, 전체적으로 봤을 땐 수능은 ‘객관식 시험’이라고 보는 것이 맞겠죠) 40문제 풀고 5문제 찍어서 3문제 맞춘 사람보다 45문제 다 풀고 실수로 3문제 날린 사람을 ‘실력 없는’ 것으로 평가하는 것이 수능입니다. 시험이 어려워져서 응시자들이 찍는 문제의 수가 늘어날수록, 이런 일이 일어날 확률은 높아질 것입니다. 인생에서 상당히 큰 비중을 차지하는 시험인 수능에서 ‘나는 이 문제를 못 풀었으니 찍어서 맞출 수 있는 가능성을 배제하고 마킹 안해서 틀려야지’ 하는 사람은 없을 것이라는 점이 이런 문제를 발생시키는 거죠.
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다시 아까의 질문으로 돌아가 봅시다. 인터넷 상에서 불수능을 외치는 수많은 이들이 모두 정의로운 사명감 하나 때문에 불수능을 바라는 걸까요? 제 생각은 그렇지 않습니다. ‘어려운 시험’을 정의하는 여러 가지 방법이 있겠습니다만 저는 ‘수험생이 풀지 못하고 찍게 되는 문제의 수’가 많을수록 ‘어려운 시험’ *이라고 하겠습니다. (수학의 경우 주관식도 있긴 하지만, 상황을 단순화하기 위해서 객관식 오지선다에 한정하고 또한 문제당 배점은 고려하지 말고 생각해봅시다.)
[시험 전체 문제 개수] = [풀게 되는 문제 개수] + [찍게 되는 문제 개수]
[시험 전체 문제 개수]는 한정되어 있으므로 어려운 시험일수록 [풀게 되는 문제 개수]는 감소하고 [찍게 되는 문제 개수]는 증가할 것입니다. 그리고 수험생은 일반적으로 자신이 풀어낸 문제를 전부 맞춘다면 ‘자신의 실력보다 못 보지는 않았다’라고 느끼는 경향이 있습니다. 푼 건 다 맞았다는 이야기니까요. 즉 수험생이 ‘실력대로 나왔다고 느끼는’ 자신의 성적은 [풀게 되는 문제 개수]를 다 맞춘 점수겠죠. 그렇다면 수험생이 실제로 시험 전체에서 맞춘 문제 개수의 기댓값은 어떻게 될까요?
[시험 전체에서 맞춘 문제 개수의 기댓값]
= [풀어서 맞춘 문제 개수의 기댓값] + [찍어서 맞춘 문제 개수의 기댓값]
풀게 되는 문제 중에서 아마 실수로 틀리는 문제가 있을 것입니다. 다음과 같이 나타내봅시다.
[풀어서 맞춘 문제 개수의 기댓값) = [풀게 되는 문제 개수] × (1 – [실수할 확률])
[풀게 되는 문제 개수]가 많아질수록 풀었지만 실수로 틀리는 문제 개수의 기댓값도 커지겠죠.
찍어서 맞춘 문제 개수의 경우 이를 확률변수 X로 두고 [찍게 되는 문제 개수]를 n이라고 두면 수능이 오지선다이므로 X는 이항분포 B(n,1/5)를 따르게 됩니다. 이 때 X의 기댓값은 n/5가 됩니다.
이제 내용을 정리해봅시다.
[시험 전체에서 맞춘 문제 개수의 기댓값]
= [풀게 되는 문제 개수] × (1 – [실수할 확률]) + [찍게 되는 문제 개수] × 1/5
= [풀게 되는 문제 개수] - [풀게 되는 문제 개수] × [실수할 확률] + [찍게 되는 문제 개수] × 1/5
만약 시험이 쉬워서 찍게 되는 문제 개수가 0이라면 찍어서 맞춘 문제가 존재할 수가 없으므로 실수할 확률이 0이 아닌 이상 [시험 전체에서 맞춘 문제 개수의 기댓값]이 [풀게 되는 문제 개수]보다 작을 수밖에 없습니다. 시험이 점점 어려워져서 찍게 되는 문제 개수가 증가할수록 동시에 풀게 되는 문제 개수는 감소하므로 찍게 되는 문제 개수가 특정 값 이상이 되면 (이때 ‘특정 값’은 [실수할 확률]에 따라 다릅니다.)
[찍게 되는 문제 개수] × 1/5 > [풀게 되는 문제 개수] × [실수할 확률] 이 성립하게 되어 [시험 전체에서 맞춘 문제 개수의 기댓값]이 [풀게 되는 문제 개수]보다 커집니다. 그리고 이 상태에서 시험이 계속 어려워지면 [시험 전체에서 맞춘 문제 개수의 기댓값]과 [풀게 되는 문제 개수]의 차이는 점점 증가합니다.
이는 다시 말해 시험이 어려우면 어려울수록 수험생이 받게 될 성적의 기댓값이 ‘자기 실력대로 나온 성적’보다 더욱 크다는 것을 의미하고, 왜 수많은 수험생들이 어려운 수능을 바라는 것인지 어느 정도 알려주고 있습니다.
위의 내용을 간단히 요약하자면 다음과 같습니다.
시험이 어려울수록 실수로 틀리는 문제는 줄어들고 찍어서 맞추는 문제는 늘어나므로 자기 실력대로 받은 점수보다 실제로 받는 점수가 높을 가능성이 커진다. 이런 이유로 대부분의 수험생들은 어려운 수능을 바란다.
6
위에서 이항분포를 언급한 김에 한 가지만 더 짚어보려고 합니다. 찍어서 맞춘 문제 개수를 X로 두고 [찍게 되는 문제 개수]를 n이라고 두면 수능이 오지선다이므로 X는 이항분포 B(n,1/5)를 따르고 이 때 X의 기댓값은 n/5가 된다고 했습니다.
그렇다면 여기서 P(X는 실제로 찍어서 맞춘 문제 개수가 기댓값 미만인 경우의 확률로, P(X≥n/5)는 실제로 찍어서 맞춘 문제 개수가 기댓값 이상 경우의 확률로 생각할 수 있습니다. 수험생 입장에서 찍어서 맞춘 문제 개수가 기댓값과 최소한 같기만 한다면 일단 손해 보진 않았다고 느낄 것입니다.
이를 정리하면 다음과 같습니다.
X~B(n,1/5)
P(X손해 봤다고 느낄 확률)
P(X≥n/5) = (손해 보진 않았다고 느낄 확률 + 이득 봤다고 느낄 확률)
불수능을 바라는 대부분의 수험생들이 어려운 시험을 상상하면서, 시험 내내 허덕이며 풀다가 몇 문제 정도 찍는 상황을 머릿속에 떠올린 적은 있을 것입니다. 그러나 아무리 어려운 시험을 상상해도 4~5개가 넘어가는 개수의 문제를 찍는 상황은 보통은 생각하지 않습니다. (애초에 공부의 목표가 그 정도 수준이 되어선 안 된다는 점도 있고, 그런 상상은 정신건강에 해롭죠.) 따라서 위의 식에서 n=1~5인 경우를 계산해 봅시다.
(n=1)
X~B(1,1/5)
P(X<1/5) = P(X=0) = 1C0 × (1/5)0 × (4/5)1 = 4/5 = 0.8
(n=2)
X~B(2,1/5)
P(X<2/5) = P(X=0) = 2C0 × (1/5)0 × (4/5)2 = 16/25 = 0.64
(n=3)
X~B(3,1/5)
P(X<3/5) = P(X=0) = 3C0 × (1/5)0 × (4/5)3 = 64/125 = 0.512
(n=4)
X~B(4,1/5)
P(X<4/5) = P(X=0) = 4C0 × (1/5)0 × (4/5)4 = 256/625 = 0.4096
(n=5)
X~B(5,1/5)
P(X<1) = P(X=0) = 5C0 × (1/5)0 × (4/5)5 = 1024/3125 = 0.32768
보시면 알겠지만 n이 1에서 5로 증가하면서 (손해 봤다고 느낄 확률)이 계속 감소합니다. (물론 이것이 일반적인 경향은 아닙니다. 당장에 n=6일 때를 계산해보면 X~B(6,1/5), P(X<6/5) = P(X=0) + P(X=1)이므로 n=5일 때보다 (손해 봤다고 느낄 확률)이 증가하게 됩니다. **) 여기서 언급하고 싶은 것은 불수능을 상상하면서 ‘아예 안 찍거나 1개 찍을 난이도의 시험보다는 3~4개 찍을 난이도의 시험이 낫다’라고 생각하는 대부분의 사람들의 심리 저 밑바닥에는 이러한 사실이 (어쩌면 자신도 모르는 사이에) 들어 있을 수 있다는 점입니다.
위의 내용을 간단히 요약하자면 다음과 같습니다.
찍는 문제의 개수가 5개 이내 범위라면 전부 다 틀리지만 않으면 절대 손해는 아닌데, 찍는 개수가 많아질수록 전부 다 틀릴 확률이 작아지기 때문에 찍어서 맞춘 문제 개수가 기댓값 이상일 확률이 커진다. 이런 이유로 수험생들은 (적당한 수준의) 어려운 수능을 바란다.
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물론 5,6에서 설명하는 내용들은 불수능을 바라는 모두에게 해당되는 이야기가 아닙니다. 정말로 자신이 어떠한 난이도에서도 무조건 전과목 만점 수렴하는 능력자라면 위의 이유들과는 상관없이 단지 남들과의 격차를 벌리기 위해서 어려운 수능을 바랄 것입니다. 또한 위의 내용이 불수능을 바라는 다른 이유들을 부정하는 것도 아닙니다. 위의 이유들을 염두에 두고 있긴 하지만 동시에 어느 정도 자신감이 있어서 변별력있는 시험을 바라는 사람들 역시 많을 겁니다. 그리고 위의 내용에서 언급한 이유들 때문에 불수능을 바라는 것은 비겁하고 잘못되었다 이런 이야기를 하려는 것 역시 아닙니다. 사람은 당연히 자신이 이득을 보기를 바라며 살아가고, 애초에 수능시험이라는 제도 자체도 그런 배경 속에서 존재하는 것이죠.
8
다만 자신이 5,6에서 언급한 이유로 불수능을 바라는 것을 ‘정의수능구현’ 등으로 착각하고 있는 건 아닌지에 대해 생각해보는 것은 필요하다고 봅니다. 보통 ‘실력대로 대학가는 것’이라고 말하지만 위에서 보았듯이 수능이라는 제도에는 객관식 시험이라는 근본적인 결함이 존재하기 때문에 시험이 어려울수록 오히려 ‘찍기’의 비중이 커집니다. 우리는 성인군자나 정의의 영웅이 아닌, 소위 헬조센이라 비꼬아지는 우리나라 사회 속에서 자신의 이득을 챙기는 작은 존재들 중 하나일 뿐이고 많은 것을 안다고 설쳐봤자 일개 수험생이라는 멍에를 벗지 못하고 있는 사람들입니다. 불수능을 바라는 것 역시 대부분의 경우 결국엔 ‘찍기’의 비중이 커지는 수능에서 ‘실력대로’가 아닌 그 이상의 이득을 볼 가능성을 바라는, 순전히 우리 자신을 위한 것이고, 이를 다른 목적으로 포장하는 것은 기만이라고 생각합니다. 물수능 기조는 저를 포함한 수많은 수험생들에게 고통을 주고 있지만, 정부는 물수능을 통해 실제로 사교육 시장을 효과적으로 축소시켰습니다. 물수능 기조가 과연 사회 전체적인 차원에서 보았을 때도 문제가 되는지에 대해서는 좀 더 넓고 깊은 고찰이 필요하며, 수능을 응시하는 입장에서는 올바른 답을 내기 힘들 것입니다. 수능이 불수능이어야 하는 아무리 그럴듯한 이유를 들어가면서 물수능을 까도 근본적으로 우리의 생각은 우리의 욕망으로부터 자유롭지 못하기에 이는 객관적인 내용이 아닙니다. 우리는 수험생이니까요.
9
그러므로 결론은 공부나 합시다.
*
‘시험 응시자가 풀지 못하고 찍게 되는 문제의 수’가 많을수록 ‘어려운 시험’이라는 기준이 1등급 = 100점이 당연한 요즘 세대에게는 공감되지 않을 수도 있겠지만, 국영수 1컷이 국어는 보통 80후반~90초반, 수학는 70후반~80대, 영어는 90~96 진동하던 과거 시험 기조에서는 이것은 꽤 적절한 판단 기준이었습니다. 음, 당시에는 국영수가 아니라 언수외였군요. 수리는 말할 필요도 없죠. 언어랑 외국어 역시 지금보다 훨씬 시간에 쫓기면서 풀어야 했으며 시험이 어려우면 몇 문제 찍게 되는 경우도 상당했습니다. (언어도 듣기가 있던 시절이고 외국어 빈칸추론 개수도 지금의 2배 이상이던 시절이라 단순히 문항수 나누기 시간 해서 ‘지금이 더 시간 없는데;;;’ 하시면 곤란합니다)
**
P(X의 값은 n=6 에서 n=5 보다 커지고 그 이후 다시 n이 증가함에 따라서 감소하다가 또다시 한번 증가하고... 이러면서 0.5에 접근하는 추세를 나타내고 있습니다. 교과서 개념 공부를 충실히 하신 분이라면 생각나시겠지만 이항분포 B(n,1/5)에 대해서 확률분포의 그래프를 그려보면 n이 작을 때는 왼쪽으로 중심이 왼쪽으로 치우쳐 있다가 n이 커지면서 점점 좌우대칭인 모양에 가까워지게 됩니다. (적분과 통계, 지학사 P144 참고) 사실 n이 이렇게 점점 커지면 이항분포 B(n,1/5)를 따르는 X는 근사적으로 정규분포 N(n/5,4n/25)를 따르게 되죠. 참고로 이를 이용해서 ‘누구나 다 풀 수 있는 문제 + 그 누구도 절대 풀 수 없는 문제’ 로 구성된 가상의 시험지 (실제로 이런 시험지는 없죠)의 등급컷을 추정할 수 있습니다. 참고로 2점짜리 오지선다 50문항으로 구성된 100점만점 시험지에서 14문제를 누구나 다 풀 수 있는 문제로, 36문제를 그 누구도 절대 풀 수 없는 문제로 출제하면 1컷이 52 정도로 나옵니다...(P(Z>1.75)=0.04를 이용) 1컷이 50대 60대인 시험이 응시자들에게 어떤 느낌의 난이도인지 감이 오시나요?
글 쓰느라 시간 날림 ㅡㅡ 이제 안씀
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(여론조작중)
내용 오류 없겠지?
현자의 돌 윤사 10번 글 이후로 제일 멋진거같아요
글 잘쓰셨네요. 근데 제가 무식한건지
이항분포 나올때 이해안되서 스크롤 쭉 내림;
저도 문돌이라 글 읽으면서 음음 그렇지 하다가 이항분포부터 ?????하면서 갑자기 현기증나길래 내렸네요......
불수능이 실력대로라.. 중위권과 하위권을 분별못하는데 실력대로라고 할수있나요?
사교육이 효과적으로 축소됬나요?
입시판에있어서그런가 그런느낌전혀못받았는데,
1. 모든사람이 찍는거기때문에 등급컷에도 찍어맞춘문제가 반영됨
2. 시험이 어려울수록 실수확률도 증가함
3. 국B 91점이 불이라는거 보고 실소? 11수능때 현역이었던걸로 부심부리는건가?
4. 찍을때 확률은 1/5가 아님, 특히 상위권으로 갈수록
11년도 평가원 세개 시험중엔 수능이 가장 어려워서 1컷 90이었고 많은 수험생들 피똥싸게 만들었는데 1컷 91이 불이 아니라니 ㄷㄷ
전 03때 언어 10개틀려도 1등급이던 시절 현역이었습니다만... 작년 국어 b시험이 그당시시험보다 딱히 쉬웠단생각은 안듭니다. 문제양도 적고 무엇보다 수험생들 실력이 발전했기때문입니다. 15년전이나 지금 학생들의 지능이 다를리가 없기때문에 정보가 몇배나 늘어난 현재 학생들 실력이 더 좋은건 자명한일입니다. 과거에 1컷 90인 시험을 현재학생들이 보면 95는 될거라고 보네요. 전 작년 국b보다 절대적 난이도가 어려운 국어 시험은 적어도 7차 이후론 수능에선 없었을거라고 생각하네요.
평가원과 사교육계의 쫓고쫓기는 전쟁 ㅋㅋㅋ