[수학칼럼] 케일리해밀턴 정리, 과연 평가원의 생각은?

케일리 해밀턴이 반드시 지름길이 될 수는 없겠네요. 분별해서 사용해야겠습니다.

네~ 우선순위의 문제라고 봅니다~
쓰지마라! 이런게 아니라 우선순위가 교과서 서술체계가
먼저라는 것 이지요~^^

케일리 배운적도 없고, 몰라도 된다는말 하도 들어서 그냥 살고 있는데 상관없죠?

네 그냥 주욱 가셔도 문제없습니다^^

질문 하나만 드릴게요~
제가 가지고 있는 수학 1 교과서는 교학사에서 나온 것인데요..
그런데 이 책 '본문'에는 '케일리 해밀턴 정리'가 언급 자체가 안 되어있는데..
'익힘책'에서는 구석에 '심화/보충(대략 이런 목적이었음..) ' 같은 거로 케일리 해밀턴 정리가
나와 있었는데요.. 이런 경우에 '본문'에 없으니까 '교과과정 외로 취급' 할 수 있는 건가요?
익힘책에 있는 '케일리 해밀턴 정리 ' 같은 것들을 그냥 무시하고 넘어가도 공부하는데 지장은 없겠죠??

네. 지장없습니다.
더 알아주시는 것. 그리고 대학교 가서도 수학을 계속 하실거라면 알아두시는것이 더 좋을지도 모르지만,
수능'수학'에 한해서는, 괜찮습니다~^^

답변 감사합니다~ 열심히 수비랑 같이 교과서 공부해야겠네요..

익힘책도 교과서니까 범위 아닌가요?

맞아요!! 저도 익힘책에서 본거 같은데!!

저도 익힘책 에서'는' 보았습니다.

위에 있는 포카칩님의 글을 읽어보시면 조금 도움이 되겠지요~ ( http://cafe.naver.com/pnmath/106432 )
그리고 여전히 케일리해밀턴 정리가 유용하다고 생각되시면 쓰시면 됩니다~

저 글은 제 생각이니까요^^
그런데 평가원 기출을 유심히 보고 있으면 좀 생각이 달라지실 수도 있어요~

특히 저 증명을 '왜 저렇게 까지 할까?' 로 생각한다면 어떨까요?

케일리해밀턴 정리랑 관계없이 단순히 익힘책도 교과서 아닌가 이말인데 의도가 잘못 전달되었네요 ㅋㅋ.... 그런데 케일리해밀턴 정리가 교과서에 나와있나요?익힘책 어디에 나와있죠??

교과서 익힘책에 있는 내용인데 교과과정 외라고 설명하신 부분은 약간 이해가 가질 않네요..
평가원 입장을 해석하는 것 역시 다양한 해석방법이 있지 않을까요? 개인적으로 너무 한가지만 강요 하는 것 같은 느낌을 받았습니다.

자세한 이야기를 조금 더 하자면, 케일리해밀턴 정리를 유도하는 과정이 고교 교과과정 밖입니다.
(이건 대학가서 배우는 거라서;;)

교과서에서는 케일리해밀턴 정리를 '소개 ' 하는 정도라고 보는게 맞아요.
저는 여전히 교과과정 '외' 라고 생각합니다.

그리고 해석에 대해선 다양한 방법이 있는것도 맞습니다.
그런데, 100분 시간제한이 있는 시험장에서 다양한 방법만을 추구하다 보면 뒤통수를 맞는 일이 생깁니다.

그래서 '시험' 과 '실력' 이 괴리감이 생기는 학생들이 나오는 거지요.

이 글은 수능'수학'을 잘 보자는 취지의 글이라서 약간 한 방향만을 언급하는 글이 된것 같긴 합니다^^

케일리-해밀턴 정리 유도에 있어서 단순 이차정사각행렬의 곱셈 뺄셈으로 익힘책에 소개가 되어있는데 교과과정 밖이라고 하니 좀 이해가 안갑니다.
뿐더러 100분 시간제한이 있는 수능시험에 있어서 한가지 방법만 고집하고 문제를 풀경우, 어떤문제가 나올지 모르는 상황에서 그 한가지 풀이법이 막힌다면, 그 시험은 이미 끝났다고 봐야겠죠.
제 생각은 다양한 접근 방법을 통하여 사고력을 기르고 수능에서 신유형 문제가 나왔을 때, 유연하게 대처하는 것이 좋다고 생각합니다.
왜냐하면, 대학수학능력시험이란 암기과목 처럼 숫자바꾸는 문제가 아닌, 철저한 이해 바탕으로 하는 창의적인 생각을 유도하기 때문이죠. 여기서 창의적인 이라 함은 다양한 이란 의미를 내포하고 있지 않을까요

'창의적인 생각'이 틀린 것 같습니다.. '포카칩'님의 '수학영역의 비밀'을
풀어보시면 틀렸다는 걸 아실거에요.. (지금 상황에서 문과는 해당안되겠지만 이과 이면 얼른 생각을 바꿔보시길..' 교과서의 내용' 만으로 수학영역을 대비하는데
평가원이 '수학영역'을 출제 하는데 필요한 수학적 사고력? 같은 게 반복되는 데 그것은 '교과서의 과정' 중심을 바탕으로 이루어져있고.. 그게 오래동안 지속되어와서 '패턴'을 형성해왔다는게 포카칩님의 말이다.. 가 제가 수비를 공부하면서 깨달은 것인데요.. 실제로 시험장에 들어가서는 '다양한' 풀이를 적용하다가 함정이랑 함정 다걸리고 이러지도 저러지도 못하고 나옵니다..
그리고 '빠른 풀이'를 지향하는 학생들을 위해 저격도 해주고요.. 수비 보시면 아실거에요 ㅋ
'자기가 알고 있는 개념'도 제대로 사용하지 못하는데 다양한 문제풀이는 오히려 방해가 될거고요.. 포카칩님 칼럼 읽어보심녀 감이 올거에요.. 난만한님 한와수 풀어보면 교과서의 크리티컬 포인트가 중요하고 심화특강은 보일때 말고는 쓰지 말라고 하시는데.. 이것도 포카칩님이랑 같은 말씀하시는 듯하고..

교과서 풀이로 모든 문제가 풀린다면 수능시험에서 틀리는 사람이 없지 않을까요?
패턴 제가 생각해도 비슷한 유형이 반복되긴 합니다.
그러나 제가 말하는 것은 신유형입니다. 등급을 나눠야 되기 때문에 신유형은 ebs를 비롯하여 매년 나오기 마련이고, 그 난이도 또한 쉽지 않다고 볼 수 있습니다.
또한 평소 유연한 사고를 하도록 연습하지 않은 사람일 경우, 한가지 풀이법이 적용이 안되었을때, 그 당혹감은 어떻게 표현할 수 있을까요.
예를들어, 확률 파트를 보면 글쎄요, 한가지 풀이법이라. 사람마다 입장차이가 있고, 생각차이가 있겠지만. 현재 1등급 나오는 저로써는 이해가 가질 않네요
100점 혹은 1등급이 목표가 아닌 2등급 3등급이 목표인 학생에게는 패턴을 익혀 반복되는 패턴만 풀 수 있도록 공부하는 것도 나쁘진 않겠네요,

저 글은 '케일리-해밀턴 정리' 만을 사용하는 사람들에게 경각심을 심어주려는 글이고요,
(직접 계산하는걸 싫어하는 사람들)

유연한 사고는 원래 중요한게 맞습니다.

그리고... 교과개념 풀이로 모든 문제가 풀립니다.
그걸 연습하고 체화하지 않기 때문에 수학시험을 잘 못보는 것이지요.

여기까지가 제 생각이고요.

사실 다른 의견이 있을 수 있습니다.^^ 올해 수능 잘 치시면 되는거에요~ 화이팅입니다!!
자신만의 방법으로 1등급이 아닌 만점을 받으시고 나중에 몃진 수기 남겨주세요^^

수능이 바라는 것은 '교과과정 내의 내용'을 통해서
'문제 상황'에 적용하는 수학적 사고력을 바라는 것입니다.
신유형도 크게 보면 '교과과정 내의 내용'을 벗어나지 않았고
구체적으로 말씀드리면 '학습목표'에 맞게 되어있습니다.
그리고 밑에 선생님께서 설명하신대로 '교과개념'으로 다 풀리구요..
평가원 출제메뉴얼이랑 학습방법 보면
구체적인 시험 범위가 교과서인데 교과서로 해설이 안되면
(물론 고1 수학과 중학교도 포함되어있죠)
수능을 출제를 못하죠.. 그리고 장담하는데 풀이 하나 막히면
다른 풀이 생각 안납니다.. 밑에 무기를 여러개 가진 사람은 한개를 가진 사람을 절대 못이긴다고하셨는데 솔직히 총칼표창박격포 등등 다 있어도 기본적인 사용법을 모르면 권총 하나만 계속 연습한 사람한테 못 이기죠.. 수능이 바라는 건 여러가지 무기를 수집해라가 아니라 '권총 하나만 잘 써라' 입니다.
그리고 그 권총이 '교과 개념'이구요.. 신유형 자체도 '교과개념'열심히 공부하고 기출분석하면 아 이거랑 이거랑 같은 무제구나.. 하고 보입니다..

꼭 그렇지만은 않은거같아요
기출문제를 여러 방향으로 풀라는 것은 사고력을 기르라는거지 시험장에서 여러방법을 쓰라는건 아니에요.....
시험장에서 100분이라는 짧은 시간과 엄청난 압박감을 생각한다면 사람에 따라 다르긴 하지만 보통 유연한 사고는 거의 불가능하다고 봐도 되죠......(수능을 재미로 보는게 아닌 이상ㅠ)
정말 자신의 몸에 밴것.......완벽하게 체화된 본능만 남습니다......
그렇게 따지면 교과과정 내에 있는, 혹은 교과서에서 설명할수 있는 방식으로 완전히 몸에 배도록 풀어야해요.....
다른 이론을 배우기 전에 그게 최우선이죠
수능기출문제 중 1문제에 보통 풀이가 3개정도 있다고 하면 2개는 평가원의 출제의도가 아니고 '그 풀이'는 '그때 나온 그 문제'만 풀수 있지 앞으로 나올 문제에 적용하기는 매우 힘들더라구요.....

실제로 여러가지 풀이를 가지고 갈때 반드시 약이 된다고 보장할수는 없어요.......더러운 계산 진득하게 하면 풀릴 문제를 '다른 방법으로 쉽게 풀수 있을까' 같은 생각을 해서 시간을 날리는 경우도 정말 많이 경험해봤구 주위에서 그렇게 하는것도 많이 봤어요.....음 예를 들면 13수능 29번 정도?? 사인법칙 계산 드럽게 하는것 말고는 거의 방법이 없죠.....그런데 보통 꼼수풀이를 많이 구사하고 들어가면 그 문제또한 '이거 어떻게 쉽게 풀수 없나' 생각하면서 시간 전부 다 날리는 경우도 수없이 많죠.....

그리고 위에 전기장과전위님께서도 써주셨지만 수능은 '창의력'을 테스트하는 시험은 아닌거 같습니다.....주어진 문제를 주어진 시간안에 올바르게 독해하고 자기가 가진 도구 (교과서내에 있는 풀이 & 기본적인 사고력 & 과거 기출문제의 아이디어) 를 사용하여 실수없이 풀어내는게 가장 중요한거같아요

뭐 두서없는 이야기였지만 한마디로 요약하자면 연습할때는 여러방법으로 풀어서 사고력을 기르는게 좋지만 실전에서는 절대 막힐수 없는 가장 확실한 한가지의 풀이만을 가지고 가는걸로 충분하고 그건 당연히 교과서내의 풀이로 설명할수 있는 풀이가 되어야할거 같아요.....교과밖의 이론은 그 다음인듯 (기본풀이로도 웬만한 모의고사는 거의 만점수렴가능할때 정도??)

제 말을 이해 못하신것같은데 시험까지 아직 시간도 남아있는 상태에서 다양한 방법과 해석능력을 익혀야 어떤문제가 나올지 모르는 수능시험에서 당황하지 않고 대처할수있지 않을까요!? 수능은 내신과 다릅니다. 수학의 비밀 책을 보니 문제를 많이 풀라고 되있는 부분도 있고 그러던데 참 아이러니하네요. 많은 문제보단 적은문제라도 심도있고 깊게 이해해야하지않을까 싶네요. 목표등급이 3등급은 아니잖아요? 계속 생각해보니 수능형 풀이라...반복되는패턴...전부 반복되는거면 똑같은 유형에 숫자만 바뀐거겠네요? 그럼 백점이 수두룩하겠죠. 무기를 한개가지고있는사람은 절대 여러개의 무기를 가진 사람을 이길수 없습니다. 사람마다 입장차이고 방법차이겠죠. 한가지 풀이법으로 열심히 하세요 전 제 방법으로 할게요

일단 저로 말할거같으면 이젠 수험생이 아닌 대학생이구요.....
수학 성적은 12수능땐 82%였구 13수능때는 96%였습니다....
그런데 12때는 수능을 제외한 모든 모의고사는 1등급이었구요.....참 아이러니하죠.....제 생각에는 그 이유가 기본풀이조차 제대로 익히지 못한채 '교과외의이론'들을 만지는데 집중했기 때문이라고 생각합니다(벡터의 외적, 로피탈의 정리, 케일리-헤밀턴 도형-극한에서의 근사 같은것들 아주 적극적으로 썼었죠)......대개 그런것들을 만지면 사설모의고사는 더 쉽게 풀리죠.....그리고 불행히도 2011년에 6,9평가원 모두 쉽게 출제가 되었기 때문에 제 약점을 파악할수 있는 시험은 '전혀' 없었습니다.....단 한번도요ㅠㅠ 13수능을 대비할때는 수리영역에서는 교과서외의 풀이는 거의 안썼었어요.....그리고 시험장에서는 문제가 어렵고 당황해도 "무조건 이렇게 풀면 답이 나온다" 라고 생각했고 묵묵히 푸니깐 답이 나오는 문제들이 거의 대부분이었어요....뭐 이렇게 발전한거죠

어쨌든 제가 하고 싶은 말은 다양한 방법과 해석능력을 익힌다는 말을 왜곡하시면 안됩니다.....제 생각에 그걸 익히는 이유는 시험장에서 써먹기 위해서라기 보다는 시험장에서 '기본풀이'를 좀 더 쉽게 (여기서 '쉽게'라는 말은 '당연히 이 논리대로 풀어야한다' 또는 '당연히 이러한 생각이 떠올라야한다' 라는걸 의미합니다) 전개해나갈수 있는 수단이거나 '첫 발상'을 원활하게 하기 위한것 같습니다

그리고 반복되는패턴이라.....솔직히 모의평가에서는 부분적으로 '신유형'이라는 이름을 가진 문제들이 꽤 출제될수도 있습니다만 최근 기출들을 봤을때 '수능'에서는 솔직히 없습니다......13수능은 물론 12 11도 그렇게 생각해요......완전히 전부라고 말할수는 없지만 거의 다가 반복되는게 맞아요......다만 그렇게 똑같은걸 내고도 만점이 쏟아지지 않는 이유는 1. 반복된다는걸 제대로 인지 못하는것 2. '내가 시험장에서 해결하기에는' 문제가 너무 복잡한것.........이라고 볼수 있을거 같아요 (또 다른요인은 '실수'라는게 있겠지요)

하지만 1번이든 2번이든 그 근본적인 원인은 교과내 기본적인 개념과 기출의 패턴들을 제대로 소화해내지 못한것 또는 '그냥 알고만 있는'것이라고 생각합니다.....단순히 아는것과 완전히 몸에 붙은 상태는 다르기때문이죠....
어쨌거나 무기를 한개가지고 있는 사람은 절대 여러개의 무기를 가진 사람을 이길수 없다고 하셨는데 그 무기를 칼에 비유하자면 어설픈 칼을 여러개 가지고 있는것은 소용없습니다......위에 29번을 예로 들었는데 만약 많은 칼을 들고 들어가는걸 생각해보면 다음과 같은일이 발생할 확률이 높습니다....

"어, 이거 안풀리네?? 다른 방법으로 풀어볼까??.............어 이것도 안되는데?? 그럼 또다른방법??....."

이게 시험장에서의 멘붕의 시작이라고 생각합니다......일단 자신이 풀어야 하는 방법중 어떤것을 선택해야 할지도 모르고 막 끼워맞추다가 제대로 못풀 확률이 높죠........한편 기본풀이를 완벽하게 체화한 사람이라면 다음과 같이 생각하겠죠

"이거 안풀리네?? 하지만 난 이 단원의 이런 문제가 나올때는 이렇게만 풀어왔고 지금 이렇게 풀면 반드시 답이 나와. 다만 이 문제가 너무 복잡하기 때문에 정리하기가 어려운거야"

하면서 복잡한거 하나하나 차근차근 정리하고 문제를 푸는거죠.....이 사람은 방향이 정해져있습니다......그 풀이로 안풀리는것처럼 보이더라도 이 풀이말고는 풀릴수가 없다는걸 (적어도 교과내 개념에서는) 알고 있죠......따라서 생각하는 범위가 많이 좁혀집니다......그리고 차근차근 정리하면서 시간이 좀 걸리더라도 중간에 실수만 안한다면 답을 찾는데 성공할 확률이 매우 높죠.....

그리고 보통 사람들이 '어려운 문제' 라고 말하는 것에 대해서 이야기해보자면 그건 절대 '기발한 발상' 이나 '창의적인 생각'을 요구하는것이 아닙니다.......정말 대부분은 교과내의 평범한 개념과 과거 기출문제의 알고리즘 속에 나와있는겁니다......다만 그 '워낙 평범한것'이 너무 많고 꼬이기 때문에 문제가 어려운것같아요......제가 작년에 30번을 틀렸는데 그 이유도 워낙 뻔한 문제였지만 제가 시험장에서 그걸 풀어내기에는 '너무 복잡했고' 결과론적으로는 저의 연습 (예시를 통한 규칙성을 찾는 연습)또한 다소 미흡했다고 생각합니다

정리되지 않은 이야기지만 어쨌든 제가 하고싶은 이야기는 여기까지에요....'만점도 아니고 겨우 가형 1등급 주제에 웬 조언질??ㅉㅉ' 라고 하시면 별로 할말은 없지만 참고는 해주셨으면 좋겠네요.....단순히 예전의 저같은 모습이 안나오길 바라는 마음에서 쓴 글이었습니다.....물론 사람마다 입장차이고 방법차이는 있고 자기한테 맞는방법을 선택하는게 정말로 중요하겠지만 저같은 사례도 있다고 생각해주시고 무엇보다도 교과내외개념간의 우선순위정도는 두셨으면 하는 바람입니다.....그럼 열심히 하시구 14수능 수학영역 원점수 100점을 기원하겠습니다

그게 유도가 아닌걸 나중에 알게 되실거에요ㅠ
그것은 행렬의 이차식이 참임을 보인것 뿐이지,
어떻게 이차정사각행렬에서 그 이차식이 나오게 되는지
설명하는 것이 아니기 때문입니다.

유연함,창의적 다 좋은 말입니다만,
교과과정으로 풀라는 것이 한가지만 알라는 말은 아닙니다.

그리고 분명히 글에도 언급했습니다.
케일리해밀턴 정리를 쓰지말라는 것이 아닙니다.
단지 우선순위를 거기다 맞추지 말라는 거에요.

케-해의 우선순위가 높다면 왜 익힘책에만 있을까요?

어때? 교과과정은 캐일리해밀턴 정리가 아니야. 그러니까 쓰지 말라고-_-+ "

죄송하지만...;;;; 주어와 보어의 관계가 뒤바뀌어 있습니다 ㅠㅠ

케일리 해밀턴 정리"는" 교과과정"이" 아니야 가 맞을 것 같은데요 ㅠㅠ

수정했어요 ㅠ.ㅜ 감사해요 ㅠ

물론 이런 방식이 정석적인 올바른 학습법이나 케일리 헤밀턴정리도 제대로 알고 쓴다면 엄청나게 유용하죠.

케일리 해밀턴 정리가 쓸모없거나 수학적으로 가치가 없거나 한게 아닙니다.
굉장히 유용한게 맞아요;;;

저 글은 평가원이 출제하는 수능 '수학'을 말하고 있는 것이고,
제 생각을 말한것이지요. 물론 저는 제 생각이 틀리지 않았다고 여기지만, 다른 관점이 충분히 있을 수 있습니다^^

알면 약이 될 '수' 있지만 몰라도 독은 아닌

몰라도 '독' 이 아나면 좋겠다. 는거죠.

질문드립니다.
일단 제가 이해한걸로는 케-헤정리를 몰라도 교과외과정이기에 수능문제푸는데는 전혀지장없이 풀수있다. 라는것같은데
그럼 케-헤정리를 사용해서 득을 볼수있다는 견해에대해서 어떻게생각하세요 개인적으로?
그리고 케-헤정리의 사용이 독이될수도 있는지에 대한 의견부탁드립니다.(실제로 그런사례가 있는지도 궁금하군요)

네 지장없이 풀립니다.
또한 실제로, 케-헤로 득을 볼 수 있습니다. 꽤 많은 부분에서.
그런데 모든 문제에 득을 보는것이 아니기 때문에, 직접 연산을 하는 사람들은 난이도 차이를 못 느끼는 문제를
케-헤에 익숙해져 버린 사람들은 난이도 차를 느끼게 되는 경우가 생깁니다. 특히 거듭제곱 관련해서.
실제로 그런사례는 포카칩님의 글 ( http://cafe.naver.com/pnmath/106432 ) 을 참조하세요^^

포카칩님 글 보려면 정회원...

헉 그렇군요 ㅠ.ㅜ

케일리 해밀턴 정리
알아도 정작 기출 문제 풀 때는 거의 쓴 적이 없네요 전 ㄷㄷ
다른 방식으로 해도 잘만 풀리기에..

근데 케일리 해밀턴 정리는 2x2 행렬 뿐만 아니라 nxn 행렬에서도 정의되는거죠?
어디 과학고 갔을 때 그 증명을 본 것 같아서요.
그리고 행렬의 여러 성질(대학교 넘어서 배우는 것도 포함) 중 nxn행렬이 아닌 2x3 행렬 같은 행렬에서도 성립하는 성질이 있나요(기본적 연산 제외)?

대학에서 배우는 "선형대수" 란 과목에서 n차로 확장된 케일리해밀턴 정리를 배웁니다^^

그리고 다른 행렬 이론들도 다루게 되지요^^

자세한건 그걸 배우시면 됩니다~

고맙습니다 ㅎㅎ

케일리 헤밀턴인지 케일리 헤밍턴인지 맨날천날헷갈렸는데 헤밀턴이었네요ㅋㅋㅋㅋㅋ
좋은글 감사합니다. 교과과정이 아닌줄은 알고있었는데 평가원 해석은 몰랐네요ㅋㅋㅋㅋ

감사합니다^^

ㅜㅜ 포카칩님글 링크해주신거 들어갔더니 로그인 하라고 해서 로그인 했더니 카페 가입하라그래서 카페 가입했더니 정회원이상 읽기ㅋㅋㅋ 아 험난해요 ㅋㅋ글잘읽었어요

ㅋㅋ 고생하셨습니다~^^

평가원은 로피탈로 이미 교과외과정을쓰면 틀리도록 유도한 문제를 낸적이있습니다

네, 그래서 교과과정이 중요하죠~^^